Питання для самоконтролю

1. Охарактеризувати залежності та взаємозв'язок випадкових подій в системі.

2. Порівняти функціональну та статистичну залежність.

3. Визначити властивості взаємозалежності.

4. Проаналізувати величину "хі-квадрат", як показник спряження величин в системі.

5. Проаналізувати коефіцієнт Пірсона, як кількісний показник спряження величин в системі.

6. Проаналізувати коефіцієнт Чупрова, як кількісний показник спряження величин в системі.

7. Порівняти коефіцієнт Чупрова та коефіцієнт Пірсона.

8. Проаналізувати коефіцієнт контингенції, як кількісний показник спряження величин в системі.

9. Проаналізувати коефіцієнт асоціації, як кількісний показник спряження величин в системі.

10. Порівняти коефіцієнт контингенції та коефіцієнт асоціації.

Джерела інформації : [1, 4, 8, 10, 15, 17]

Тема №8. Кореляційний аналіз

8.1. Кореляція випадкових величин. Кореляційний аналіз. Коефіцієнт кореляції

Кореляційний аналіз - сукупність методів виявлення кореляційної залежності між випадковими величинами чи ознаками.

Для числової оцінки можливого зв'язку між двома випадковими величинами: Y(із математичним очікуванням M_y і середньоквадратичним відхиленням S_y) та X (із математичним очікуванням M_x і середньоквадратичним відхиленням S_x) використовується коефіцієнт кореляції:

де n - кількість спостережень,

, що ґрунтується на використанні змішаного моменту між випадковими величинами Х та У.

Цей коефіцієнт може набувати значення від -1 до +1 —залежно від тісноти зв'язку між даними випадковими величинами.

Основні властивості коефіцієнта кореляції :

1. Числове значення коефіцієнта кореляції знаходиться в межах:

-1R_xy1.

2. Залежність між X і Y тим сильніша, чим R_xy за модулем ближче до 1.

3. Якщо R_xy>0, тоді зі зростанням X у середньому зростає і Y.

4. Якщо R_xy<0, тоді при зростанні X величина Y у середньому зменшується.

5. При R_xy=0, величини X і Y називають некорельованими ї їх можна вважати випадковими та незалежними.

6. При R_xy=1 спостерігається лінійний зв'язок між X і Y (саме тому часто говорять про лінійну кореляцію).

Значення коефіцієнта парної кореляції вказує на близькість залежностей властивостей X і Y до функціональної та про ступінь інтенсивності їх зв'язку. Сла­бка кореляція, тобто слаба "чутливість" однієї власти­вості до змін іншої через її "недостатню реакцію" (тільки в середньо­му), зумовлює слабку "ке­рованість" однієї властивості шляхом зміни іншої.

В системному аналізі доводиться вирішувати питання і про зв'язок декількох (більше за двох) випадкових величин, тобто питання про множинну кореляцію.

Нехай X, Y і Z - випадкові величини, за результатами спостереження над якими встановлено їх математичні очікування M_x, M_y, Mz і середньоквадратичні відхилення S_x, S_y, S_z.

Тоді можна знайти парні коефіцієнти кореляції R_xy, R_xz, R_yz за наведеною вище формулою. Але цього явно недостатньо - адже для кожного із трьох коефіцієнтів відсутні відомості про вплив третьої випадкової величини.

Якщо змінна X корелює зі змінною Y, враховуючи вплив всіх інших незалежних змінних, таку кореляцію іноді називають приватною кореляцією.

Якщо одна величина корелює з іншою, то це може бути відображенням того факту, що вони обидві корелюють з третьою величиною чи із сукупністю величин.

У випадках множинного кореляційного аналізу розраховуються приватні коефіцієнти кореляції — наприклад, оцінка впливу Z на зв'язок між X і Y:

R_xy.z =

Коефіцієнти множинної кореляції R_x.yz, R_y.zx, R_z.xy визначають який зв'язок існує між даною випадковою величиною і сукупністю інших. Формули для обчислення коефіцієнтів побудовані за тими ж принципами - урахування зв'язку однієї з величин із всіма іншими в сукупності.