5.7. Закони розподілу випадкових величин (параметрична статистика)

Закон розподілу випадкової величини - це ряд значень, які може приймати ця випадкова величини. Тобто набір всіх допустимих її значень.

Закон розподілу випадкової величини вважається заданим, якщо:

1. Визначена множина можливих значень випадкової величини.

2. З'ясовано засіб кількісного визначення імовірності попадання випадкової величини у довільній області цієї множини.

Встановити закон розподілу випадкової величини можна двома засобами:

1. За допомогою експерименту побудувати схему випадкових події.

2. За допомогою аналізу властивостей випадкової величини, визначити до якого з класичних законів розподілу відноситься ця величина.

Хоча існує нескінченна множина випадкових величин, законів розподілу набагато менше. Різні випадкові величини можуть мати однаковий закон розподілу. Такі розподіли називають теоретичними, а їх використання "параметричною статистикою". Для класичних законів розроблені методи розрахунку всіх показників розподілу, зафіксовані зв'язки між ними, побудовані алгоритми розрахунку і т.п.

Рівномірний закон розподілу

Неперервна випадкова величина X має рівномірний закон розподілу, на відрізку [a, b], якщо щільність її імовірності f(x) постійна на цьому відрізку і імовірність її попадання в будь-який відрізок у межі [a, b] пропорційна довжині відрізка і не залежить від його положення, а імовірність значень поза відрізком (а, b) дорівнює 0.

0; Xa

f(X)= 1/(b-a); aXb

0; Xb

Теорема. Функція розподілу випадкової величини X, розподіленої за рівномірним законом є:

0; Xa

F(X)= (Х-а)/(b-a); aXb

1; Xb

Математичне очікування випадкової величини X, розподіленої за рівномірним законом, дорівнює: , а її дисперсія:

Нормальний закон розподілу

Неперервна випадкова величина X має нормальний закон розподілу з параметрами а та  , якщо щільність її імовірності f(x) має вигляд:

(x)=

Теорема. Математичне очікування випадкової величини X, розподіленої за нормальним законом, дорівнює параметру а цього закону, а її дисперсія - квадрату параметра  тобто : M(X)=a, D(X)=²

Біноміальний закон розподілу

Дискретна випадкова величина X має біноміальний закон розподілу, якщо вона приймає значення 0, 1, 2, ..., m, ..., n з ймовірностями:

де 0<p<1, q=1-p, m=0, 1, 2, ..., n.

Біноміальний закон розподілу являє собою закон розподілу числа X=m настання події A у n-незалежних спробах, у кожній з яких воно може відбутися з однієї і тією ж імовірністю p.

Ряд розподілу біноміального закону має вигляд:

Xi	0	1	2	...	m	...	n
Pi	qn			...		...	pn

Теорема. Математичне очікування випадкової величини X, розподіленої за біноміальним законом дорівнює M(X)=np, а її дисперсія D(X)=npq.

Геометричний розподіл

Дискретна випадкова величина X має геометричний закон розподілу, якщо вона приймає значення 1, 2, ..., m, ... (нескінченна, але рахункова множина значень) з ймовірностями:

P(X=m)=pq^m-1

де 0<p<1,

q=1-p,

m=1, 2, ...

Ряд геометричного розподілу має вигляд:

Xi	1	2	3	...	m	...
Pi	p	pq	pq2	...	pqm-1	...

Очевидно, що імовірності P_i утворять геометричну прогресію з першим членом p і знаменником q (звідси і назва "геометричний розподіл").

Визначення геометричного розподілу є коректним, оскільки сума ряду

дорівнює одиниці.

( є сума геометричного ряду при |q|<1).

Випадкова величина X=m, що має геометричний розподіл, являє собою число m спроб, проведених за схемою Бернулі, з імовірністю p настання події в кожній спробі до першого позитивного результату.

Теорема. Математичне очікування випадкової величини X, що має геометричний розподіл з параметром p дорівнює а її дисперсія дорівнює де q=1-p.

Гіпергеометричний розподіл

Дискретна випадкова величина X має гіпергеометричний закон розподілу, якщо вона набуває значення: 0, 1, 2, ..., min {n, M} з ймовірностями

,

де m=1, 2, ..., min {n, M}, m≤N, n≤N; n, N, M - натуральні числа.

Теорема. Математичне очікування випадкової величини X, що має гіпергеометричний розподіл з параметрами n, N, M, дорівнює , а її дисперсія дорівнює

Закон розподілу Пуассона

Дискретна випадкова величина X має закон розподілу Пуассона, якщо вона приймає значення 0, 1, 2, ..., m, ... (нескінченна, але рахункова множина значень) з ймовірностями

де  m=0, 1, 2, ...

Ряд розподілу  закону Пуассона має вигляд:

Xi	0	1	2	...	m	...
Pi	e-	 e-

Визначення геометричного розподілу є коректним, оскільки сума ряду

дорівнює одиниці (в дужках записане розкладання в ряд функції e^x при x=).

Теорема. Математичне очікування і дисперсія випадкової величини X, розподіленої за  законом Пуассона, збігаються і дорівнюють значенню параметра  цього закону, тобто

Mx=, Dx=

Показовий (експонентний) закон розподілу

Неперервна випадкова величина X має показовий (експонентний) закон розподілу з параметром , якщо щільність її імовірності f(x) має вид:

0 при x<0,

f(x)=

e^-x при x>=0.

Теорема. Функція розподілу випадкової величини X, розподіленої по показовому законі, є

0 при x<0,

f(x)=

1-e^-x при x>=0.

її математичне очікування дорівнює , а її дисперсія

Для випадкової величини, розподіленої за показовим законом, математичне очікування дорівнює середньому квадратичному відхиленню, тобто Mx=Sx