5.3. Розрахунок ймовірностей подій, як співвідношення кількості сприятливих результатів до загального числа результатів

Припустимо, що підсумком деякого дослідження може бути кінцеве число n несумісних та рівноможливих результатів і, що в m сприятливих результатах відбувається подія А. Тоді імовірність події А дорівнює співвідношенню числа сприятливих результатів m до загального числа результатів n:

, де W - відносна частота.

Якщо порушується хоча б одна з трьох умов (кінцєвість, несумісність, рівновірогідність), ця формула не працює.

При використанні цього методу необхідно врахувати всі можливі сприятливі результати. Характерною помилкою для цього методу є поєднання різних (хоча і дуже схожих) сприятливих результатів в один.

Кількість всіх можливих сприятливих результатів легше підрахувати, якщо оформити результати дослідження у вигляді таблиці чи графа.

5.4. Розрахунок ймовірностей подій за допомогою графів можливих результатів

В ряді випадків дослідження може бути представлене як багатокроковий процес, в якому кожен попередній результат має декілька наступних результатів.

В загальному випадку результати кожного кроку дослідження не рівновірогідні. Подія, що цікавить дослідника, може відбутися після будь якого кроку.

При великій кількості результатів та кроків звичайний підрахунок імовірності події буде ускладнено. Такий процес можна спростити за допомогою звичайного дерева-графа результатів.

Представимо результат умовного дослідження у вигляді графа:

Перший крок може мати два результати: (1:1) та (1:2) з відповідними ймовірностями Р_1,1 та Р_1,2. Кожен з цих результатів для другого кроку має роль початкового стану. На другому кроці подія (1:1) може мати результати (2:1), (2:2),(2:3) з відповідними ймовірностями Р_2,1, Р_2,2, Р_2,3; а подія (1:2) результати (2:4), (2:5) з відповідними ймовірностями Р_2,4, Р_2,5 і т.д.

Результати кожної події повинні створювати повну групу подій, що підтверджують умови:

Р_1,1+Р_1,2=1

Р_2,1+Р_2,2+Р_2,3=1; Р_2,4+Р_2,5=1

Р_3,1+Р_3,2=1; Р_3,3=1; Р_3,4+Р_3,5+Р_3,6+Р_3,7=1

Повна імовірність кожного результату визначається як добуток всіх ймовірностей, зазначених на відповідній гілці дерева, починаючи з даного результату і закінчуючи коренем дерева (початковим станом).

5.5. Розрахунок ймовірностей складних подій, що представлені у вигляді комбінаторних елементарних подій

Складні події можуть бути представлені в вигляді комбінації елементарних подій. В найбільш розповсюджених задачах складну подію утворюють елементарні події, що відбуваються певну кількість разів, чи не менше (не більше) певної кількості разів. Для розрахунків імовірності складної події використовують формули суми та добутку подій, при відповідній послідовності:

1. Складна подія записується у вигляді комбінації елементарних подій, зв’язаних знаками суми та добутку.

2. Застосовуються формули імовірності суми та добутку подій.

3. Розраховуються імовірності елементарних подій (якщо вони не відомі).

4. Підраховується імовірність складної події, що досліджується.

5.6. Функція розподілу випадкової величини. Числові характеристики випадкових величин (мода, медіана, математичне очікування, середньоквадратичне відхилення, дисперсія, коефіцієнт варіації)

Функцією розподілу випадкової величини Х називається функція F(x), що задає імовірність події, тобто імовірність того, що випадкова величина Х буде менша за деяке число х:

F(x)=P{X  x}

Функція розподілу має наступні властивості:

1. Функція F(x) неспадаюча функція: F(x₁)  F(x₂) при x₁ x₂

2. Функція F(x) неперервна зліва:

(0)

3. Функція F(x) прагне до нуля, якщо х прагне до -

4. Функція F(x) прагне до одиниці, якщо х прагне до +

Математичне очікування випадкової величини (як дискретної, так і неперервної) - це те, до чого прагне її середнє значення при досить великому числі спостережень.

Для дискретної випадкової величини: Mx =  X_i  P(X_i);

де P(X_i) — імовірність того, що X прийме своє i-те чергове значення.

Для неперервної випадкової величини:

Медіана (серединне значення) випадкової величини називається таке значення випадкової величини X (позначається Me) при якому:

P(XMe)=P(XMe)=1/2

Для неперервної випадкової величини медіана знаходиться з умови:

F(Me)=1/2

Для дискретної випадкової величини медіана вираховується неоднозначно та практично не використовується.

Мода (найбільш імовірне значення) випадкової величини називається таке значення випадкової величини X (позначається Mо) для якого у випадках дискретного розподілу імовірність Р(Х=Мо), а випадках неперервного розподілу щільність імовірності F(Mo) має своє найбільше значення.

Дисперсією випадкової величини називають очікування квадрата відхилення значення величини від її математичного очікування:

Для дискретної випадкової величини:

Для неперервної випадкової величини:

Розмірність дисперсії не збігається з розмірністю самої випадкової величини і це не дозволяє оцінити величину розсіювання. Тому найчастіше замість дисперсії використовується квадратний корінь з її значення — середньоквадратичне відхилення чи відхилення від середнього значення:

Значення Mx і S_X іноді не несуть повної інформації. Тому часто для грубої оцінки "випадковості" величини використовують коефіцієнт варіації чи відношення кореня квадратного з дисперсії до величини математичного очікування:

V_x = S_X/M_X