Тема 2. Теория фирмы

Типовые задачи

Задача 1

Технология производства фирмы представлена производственной функцией:

Q = 3L^1/3,

где L - количество используемого труда.

Определить функцию предложения фирмы, если единица труда обходится в 1 ден. ед.

Решение

Цель фирмы - максимизировать прибыль (П):

П = P × Q – 1 × L = P × 3 × L^1/3 – L → max.

Определим условие максимизации прибыли:

Отсюда: P = L^2/3.

Следовательно, функция спроса на труд у данной фирмы имеет вид: L = P^3/2. Придерживаясь данного правила спроса на труд, фирма будет получать максимум прибыли. При этом она будет производить: Q = 3 × (P^3/2)^1/3 = 3 = Q_S.

Задача 2

Пусть технология производства представлена производственной функцией:

где K – количество используемого оборудования, L – труда.

Объем производства равен 20.

Какой будет оптимальная комбинация ресурсов K и L, если ставка

заработной платы (w) равна 8, а ставка арендной платы за оборудование (r) равна 4?

Решение

Известно, что MRTS_L,K = и в точке оптимума:

Отсюда, если 20 = , то: K = 400/L. Следовательно:

MRTS_L,K = (400/L)' = 400/L².

Исходя из условия оптимума:

Следовательно: L = 14,14, K = 28,3.

Задача 3

Пусть технология производства представлена производственной функцией Q = K × L, где K – количество используемого оборудования, L – труда. Затраты фирмы (C) составляют 48 ден. ед. Найти оптимальное значение выпуска, если ставка заработной платы (w) равна 3 ден. ед., а ставка арендной платы за оборудование (r) – 4?

Решение

Известно, что C = w × L + r × K. Отсюда: 48 = 3L + 4K, а K = 12 – –3/4 × L.

Следовательно, Q = (12 – 3/4 × L)L = 12L – 3/4 × L².

Оптимальное значение выпуска определяется исходя из условия максимизации прибыли, то есть: 12 – 6/4 L= 0.

Отсюда: 1,5L = 12.

Следовательно: L = 8, K = 6, а Q = = 6,93.

Задача 4

Функция общих затрат имеет вид: TC = 20+4Q + Q².

При каком объеме производства кривая предельных затрат пересечет кривую средних общих затрат?

Решение

Определим функцию предельных затрат: MC = 4 + 2Q, а также средних общих затрат: ATC = 20/Q + 4 + Q.

Кривая MC пересекает кривую ATC в точке, где 4 + 2Q = 20/Q + 4+ +Q, то есть: 20/Q – Q = 0.

Отсюда: Q = 4,47.

Задачи

Теория производства

1. Заполните пропуски в следующей таблице:

Объем применения переменного ресурса, X1	Общий выпуск продукции, Q	Предельный продукт переменного ресурса, МР1	Средний продукт переменного ресурса, АР1
3	…	...	20
4	…	15	…
5	100		…
6	…	5	…
7	…	…	13

2. Заполните пропуски в следующей таблице:

Объем применения переменного ресурса, X1	Общий выпуск продукции, Q	Предельный продукт переменного ресурса, МР1	Средний продукт переменного ресурса, АР1
3	90		...
4	…	10	…
5	100	…	...
6	…	…	19
7	118	…	...

3. Процесс производства на некотором предприятии описывается производственной функцией:

Q = 2X₁^2/3 × X₂^1/3,

где Q – объем производства, X₁ – объем используемых трудовых ресурсов; X₂ – объем используемого оборудования.

а) Найдите алгебраическое выражение для изокванты при Q = 4. Нарисуйте эту изокванту.

б) Ставка арендной платы за оборудование вдвое выше ставки оплаты труда. Предприятие использует две единицы оборудования и две единицы труда.

Может ли предприятие, изменив комбинацию используемых ресурсов, уменьшить затраты, не уменьшая выпуск продукции?

4. Процесс производства на некотором предприятии описывается

производственной функцией:

Q = 3X₁^1/3 × X₂^2/3,

где X₁ – объем используемых трудовых ресурсов; X₂ – объем используемого оборудования.

а) Найдите алгебраическое выражение для изокванты при Q = 6. Нарисуйте эту изокванту.

б) Ставка арендной платы за оборудование вдвое выше ставки оплаты труда. Предприятие использует две единицы оборудования и две единицы труда.

Может ли предприятие, изменив комбинацию используемых ресурсов, уменьшить затраты, не сокращая выпуск?

5. Предприятие производит объем продукции Q, используя такие объемы ресурсов, при которых предельный продукт оборудования превышает предельный продукт труда в 2 раза. Ставка оплаты за аренду единицы оборудования превышает ставку оплаты труда в 3 раза.

Может ли предприятие уменьшить затраты, не сокращая объема выпуска? Если да, то в каком направлении следует изменить соотношение между объемами используемого оборудования и труда? Поясните ответ с помощью изокванты и изокосты.

6. На рисунке изображены две изокванты, характеризующие одно и то же количество продукции. Указать, какая из них описывает процесс производства до внедрения новой технологии и какая после. Ответ обосновать.

7. Производственная функция фирмы имеет вид: Q = . Пусть уровень выпуска равен 50 ед.

Какой будет оптимальная комбинация ресурсов K и L, если ставка

зарплаты (w) равна 10 ден. ед., а ставка арендной платы за оборудование (r) равна 5 ден. ед.

8. Технология производства описывается производственной функцией вида: Q = L^0,5 × K^0,5. Фирма располагает капиталом (K) в размере 100 ден. ед. и стремится к максимуму прибыли.

Сколько труда (L) будет использовать фирма, если ставка заработной платы (w) равна 10 ден. ед., ставка арендной платы (r) равна 1, каждая единица продукции стоит 10 ден. ед.

9. Производственная функция фирмы имеет вид: .

Прокатные цены факторов производства составляют: ставка зарплаты 4 ден. ед., арендная плата за оборудование 2 ден. ед.

На основании этих данных построить линию оптимального роста производства по трем точкам при уровнях выпуска:

а) Q = 1,

б) Q = 2,

в) Q = 3.

10. Производственная функция фирмы имеет вид: .

Запишите уравнение изокванты при Q = 2 и найдите предельную

норму технической замены при L = 2.

11. Производственная функция фирмы имеет вид: .

Затраты фирмы (C) составляют 64 ден. ед. В исходный момент ставка зарплаты была 6 ден. ед., а ставка арендной платы 8 ден. ед. Затем ставка арендной платы за оборудование сократилась вдвое.

Найдите оптимальное значение выпуска в обеих ситуациях, выделите аналитически эффект замены и эффект выпуска и изобразите их на графике.

12. Производственная функция фирмы имеет вид: Q = (K × L)/10.

Определите значения среднего и предельного продукта труда (L) и капитала (K), зафиксировав объем затрат этих факторов:

а) K = 2;

б) L = 4.

13. Производственная функция фирмы имеет вид: .

а) Найдите уравнения среднего и предельного продукта труда и капитала, зафиксировав по очереди объем затрат капитала (K = =3) и труда (L = 2).

б) Изобразите графически кривые среднего продукта, пользуясь полученными уравнениями.

14. Производственная функция фирмы имеет вид: Q = 4L^0,5 × ×2K^0,5.

Найти алгебраическое выражение для изокванты при Q = 6.

Предположим, в день затрачивается 8 часов труда и 6 часов работы оборудования.

Определить максимальное количество выпускаемой продукции, а

также средний продукт труда.

15. Производственная функция имеет вид: Q = (X₁^1/2 + 4X₂^1/2)².

Цены ресурсов X₁ и X₂ равны соответственно 1 ден. ед. и 2 ден. ед.

В каком соотношении надо использовать ресурсы, чтобы минимизировать затраты на производство продукта?

16. Предположим, что когда фирма увеличивает применяемый капитал с 120 до 150 ед. и используемый труд с 500 до 625 ед., выпуск продукции увеличится с 200 до 220.

Какая отдача от масштаба производства (возрастающая, убывающая, постоянная) имеет место в данном случае?

17. Что можно сказать о характере отдачи от масштаба (убывающая, возрастающая, постоянная) и изменении предельных продуктов ресурсов (убывают, возрастают, не меняются) следующих производственных функций:

а) Q = K + 5L;

б) Q = (K^1/2 + L^1/2)²;

в) Q = 3K × L²;

г) Q = 2K + L^1/2?

18. Производственная функция имеет вид: Q = K × L.

Ставка заработной платы (w) равна 2, ставка арендной платы (r) равна 4.

Найдите оптимальный путь роста для уровней выпуска Q₁ = 2, Q₂= 4, Q₃ = 6, а также денежные затраты, соответствующие этим уровням выпуска.

19. Производственная функция имеет вид: Q = K × L.

а) Постройте на графике изокванту, соответствующую выпуску Q= = 2;

б) Найдите предельные нормы технической замены при L₁ = 1/2 и L₂ = 2. Объясните, чем обусловлено различие предельной нормы

технической замены в этих точках;

в) Какова будет предельная норма технической замены при L = 2 чел.-часа и какой она станет, если затраты труда будут измеряться в чел.-днях (1чел.-день = 8 чел.-час.);

г) Как объяснить, что практически при одинаковых трудозатратах предельная норма технической замены оказывалась разной?

20. Производственная функция цеха имеет вид:

Q = 5X₁^1/2 × X₂^1/2,

где X₁ – количество часов труда; X₂ – количество часов работы машин.

Предположим, в день затрачивается 9 часов труда и 9 часов работы машин.

а) Каково максимальное количество выпущенной продукции? Определите средний продукт труда.

б) Предположим, что цех удвоил затраты обоих факторов. Определите объем выпускаемой продукции.

21. Пшеница производится по технологии, соответствующей производственной функции:

где L, Z – соответственно используемые количества труда и земли.

Ставка зарплаты равна 4 ден. ед., а ставка земельной ренты – 9 ден. ед. независимо от количества используемых факторов.

По какой цене будет предлагаться пшеница в длительном периоде:

а) в описанных условиях;

б) если при данной технологии ставки зарплаты и ренты будут равны 5 ден. ед.;

в) если при исходных ценах на факторы технология будет характеризоваться производственной функцией Q = L^0,75 × Z^0,25?

22. Фирма выпускает 8 ед. продукции, располагая 1 ед. капитала и работая по технологии:

Каков коэффициент эластичности выпуска фирмы по труду?

23. Можно ли представить себе процесс производства с возрастающей отдачей от масштаба, если в тоже время убывает предельный продукт некоторого ресурса?

24. Бюджет фирмы равен 200 ден. ед. Она работает по технологии, соответствующей производственной функции Q = L × K, при ценах на факторы: w = 2; r = 4.

а) При каких значениях L и K фирма достигает максимума выпуска?

б) Как изменится капиталовооруженность труда на фирме, если при той же цене труда цена капитала возрастет в 1,5 раза?

25. Известны следующие способы производства:

Ресурсы	Способы производства
	А	Б	В	Г	Д
Труд, чел.-час	2	3	1	6	4
Капитал, станко-час	5	4	7	2	3

Постройте на основе этих данных изокванты, соответствующие выпуску 1 и 2 единиц продукции, при условии, что для удвоения выпуска требуется вдвое большее количество каждого ресурса.

26. Используя изображенный ниже рисунок, ответьте на следующие вопросы:

а) Какова предельная норма технической замены в точке A?

б) Если в точке B P_X2 = 6 ден. ед. и P_X1 = 4 ден. ед. и фирма, находясь в этой точке, применяет 50 единиц капитала и 30 единиц труда, какова величина средних затрат для производства 100 единиц продукции?

в) Отражает ли точка C комбинацию факторов производства, которая используется для определения долгосрочных средних затрат при установлении цены на 80 единиц продукции? Объясните.

27. Для следующих типов производственных функций:

– линейной,

– Кобба-Дугласа,

– Леонтьева,

– с постоянной эластичностью замещения

а) определите предельные продукты ресурсов;

б) найдите предельную норму технической замены;

в) определите эластичность замещения ресурсов;

г) охарактеризуйте отдачу от масштаба;

д) выведите функцию затрат;

е) выведите функцию предложения.

28. Если процесс производства на фирме характеризуется убывающей отдачей от масштаба при любом объеме производства, что произойдет с прибылью фирмы, если она разделится на два завода, каждый из которых будут производить одинаковый объем продукции?

29. Фирма имеет два завода по производству продукта A. Производственная функция первого завода имеет вид Q₁ = min{X₁, 2X₂}, второго завода – Q₂ = min {2X₁, X₂}.

Какое количество ресурсов X₁ и X₂ потребуется для одновременного производства 40 ед. A на первом заводе и 20 ед. на втором?

30. Производственная функция имеет вид: Q = (X₁^A + X₂^A)^B, где 1 > A > 0, B > 0.

При каких значениях A и B будут иметь место возрастающая отдача от масштаба, убывающая отдача, постоянная отдача?

31. Даны следующие линейные технологии:

	Затраты ресурсов на 3 единицы выпуска
	А	B	C	D	E
Труд	3	4,5	6,75	15	24
Капитал	24	15	6,75	4,5	3

а) Какой из этих способов производства (линейных технологий) является оптимальным при условии выпуска Q = 2, w = 1,5, r = 5.

б) Найдите бюджетное ограничение фирмы.

32. Дана производственная функция Q = K × L, при ценах факторов: w = 2, r = 4.

а) Найдите оптимальный путь роста для уровней выпуска Q₁ = 2, Q₂ = 4, Q₃ = 6, Q₄ = 8, а также денежные затраты, соответствующие этим уровням выпуска. Постройте график.

б) Изобразите на построенном графике трудоинтенсивный (трудоемкий) неоптимальный путь роста. Определите перерасход средств, возникающий в результате X-неэффективности.

33. Найти предельную норму замены и вывести уравнение изоквант, если L = 5, K = 4, а производственная функция имеет вид: а) Q = L × K; б) Q = 3L; в) Q = 2L + 4K; г) Q = .

34. Известны две линейные технологии (ЛТ), предполагающие использование труда и капитала в фиксированных пропорциях:

Ресурсы	Затраты ресурсов на единицу выпуска
	ЛТ-1	ЛТ-2
Труд	4	2
Капитал	2	4

Причем для ЛТ-1: Q₁ = min {4L; 2K}, а для ЛТ-2: Q₂ = min {2L; 4K}.

Постройте график этих линейных технологий.

35. На земельном участке работает фермер. Урожай свеклы, собираемый им, равен 30. Каждый дополнительно нанятый работник обеспечивает прирост урожая на 10% меньше, чем предыдущий. Определить предельный продукт и максимально возможный выпуск.

36. Производственная функция имеет вид: Q = 5L + 2K. Затраты на производство продукции равны 20. Цены факторов: w = 4, r = =3.

а) Определить оптимальный расход факторов.

б) Что произойдет, если w = 5, а r = 2?