Тема 6. Общее экономическое равновесие и экономика благосостояния

Типовые задачи

Задача 1

На рисунке изображена диаграмма Эджуорта для двух потребителей в пространстве продуктов X и Y.

Допустим, что распределение двух продуктов между потребителями характеризуется точкой D. Какое из необходимых условий Парето-оптимального состояния при этом нарушается? Как можно улучшить распределение двух товаров между двумя потребителями?

Решение

Нарушается условие эффективности в обмене, поскольку в точке D MRS₁ ≠ MRS₂ и B D, B D.

Парето-оптимальному распределению товаров между потребителями соответствуют точки A, B, C в которых совпадают наклоны двух кривых безразличия.

Задача 2

Функции полезности двух потребителей имеют вид:

U₁ = Q₁³ × Q₂; U₂ = Q₁ × Q₂³.

Продукты производятся по следующей технологии:

Q₁ = 2; Q₂ = 2,

где L₁, L₂ – количество труда на производство 1 и 2-го продуктов.

Общее количество труда ограничено: L₁ + L₂ = 8.

а) Определить функцию трансформации двух благ и построить ее график.

б) Определить общее равновесие, если каждый потребитель может продать по 4 ед. труда и каждый получает половину прибыли от реализации благ, так как держит половину пакета акций.

Решение

а) Из производственных функций определяем:

L₁ = ; L₂ =.

Тогда

8 = .

Следовательно: Q₂ = .

б) При данных ценах на блага и труд (P₁, P₂, w):

П₁ = 2P₁ – w × L₁; П₂ = 2P₂ – w × L₂.

Максимум прибыли будет достигнут при следующих условиях:

Откуда спрос на L₁ равен .

Откуда спрос на L₂ равен L₂ =

Тогда Q₁ = 2; Q₂ = .

Определим прибыль от производства соответственно Q₁ и Q₂:

Бюджетное ограничение каждого из потребителей:

P₁Q₁ + P₂Q₂ = 4w + П_i; где П_i = 0,5П(Q₁) + 0,5П(Q₂).

Функцию спроса первого потребителя находим из максимизации U₁ при бюджетном ограничении:

L = Q₁³ × Q₂ – λ(P₁Q₁ + P₂Q₂ – 4w – П₁) → max

(L – функция Лагранжа).

Из первого и второго уравнений следует:

Подставим в третье уравнение значение Q₁:

Тогда:

Аналогично находим для второго потребителя:

При этом

Условия равновесия на всех трех рынках:

L₁ + L₂ = 8.

По закону Вальраса достаточно выполнения двух условий равновесия:

Примем w = 1. Тогда:

P₁² + P₂² = 8;

8 = 3P₁² – P₂².

Тогда цена благ, выраженная в единицах труда:

P₁ = P₂ = 2; Q₁ = Q₂ = 4.

Первый потребитель потребляет: 3Q₁ + Q₂, второй: Q₁ + 3Q₂.

Задачи

1. Предположим, что экономика включает только два предприятия. Одно из них производит товар X, другое – товар Y. На рисунке изображена диаграмма Эджуорта для двух предприятий в пространстве ресурсов «а» и «b».

а) Предположим, что распределение ресурсов между предприятиями характеризуется точкой B. Какое из необходимых условий

Парето-оптимального состояния при этом нарушается?

б) Нарисуйте три точки границы производственных возможностей.

2. На рисунке изображена граница возможных благосостояний для двух индивидуумов.

а) Укажите точки, которые являются Парето-оптимальными.

б) Укажите точки, которые являются Парето-предпочтительными по отношению к точке A.

в) Укажите точки, которые являются Парето-предпочтительными по отношению к точке B.

3. Общество состоит из трех индивидуумов: I, II, III, каждый из которых производит один вид продукции соответственно: A, B, C. При любой ненулевой цене на блага первый решил продать 36 ед. блага A, второй – 20 ед. блага B, третий – 50 ед. блага C. Спрос каждого индивидуума на непроизводимые им блага прямо пропорционален его доходу (I) и обратно пропорционален цене блага.

Функции спроса имеют вид:

Определить пропорцию равновесных цен и равновесные объемы спроса каждого из индивидуумов.

4. Предположим, два потребителя живут в одном городе. Один из продуктов они покупают по одинаковым ценам, а другой – по разным.

К нарушению какого из необходимых условий Парето-оптимальности это может привести?

5. Для двух потребителей товары X и Y служат совершенными заменителями в пропорции 1:1. Общее количество товара X – 10 ед., товара Y – 20 ед. Первоначальное распределение товаров таково, что первому потребителю принадлежат 8 ед. товара X и 3 ед. товара Y.

Является ли это распределение Парето-оптимальным?

6. Предположим, два предприятия расположены в одном городе. Один из ресурсов они приобретают по одинаковым ценам, а другой – по разным.

К нарушению какого из необходимых условий Парето-оптимальности это может привести?

7. В экономике, состоящей из двух отраслей: сельского хозяйства

и промышленности, в сельском хозяйстве господствует совершенная конкуренция, а промышленное производство монополизировано. Монопольную власть устранить невозможно.

Покажите последствия монополии для общего равновесия.

8. В хозяйстве, располагающем 24 единицами производственного фактора F продукция Q₁ производится по технологии Q₁ = 4, а продукция Q₂ – по технологии Q₂ = 2F + 3.

Вывести кривую производственных возможностей.

9. Производство товаров A и B описывается производственной функцией: Q_А = 2KL, Q_В = 0,5KL. Общий объем используемого труда – 100 ед., капитала – 60 ед.

Построить кривую производственных возможностей.

10. Рассматривается возможность постройки автомобильного моста через реку. Предполагается, что ежемесячные затраты на содержание моста (включая амортизацию и нормальную прибыль на вложенный капитал) составят 300000 ден. ед. Если установить плату за проезд, то ее величина будет оказывать влияние на число желающих использовать мост. Предполагается, что функция спроса на использование моста имеет вид: Q = 20000 – 500P, где Q – число поездок через мост в течение месяца, P – плата за одну поездку через мост (в ден. ед.).

а) Определить, оправдано ли строительство моста с точки зрения экономической эффективности.

б) Будет ли осуществлять и финансировать данный проект какая-нибудь частная фирма?

11. Предположим, на всех товарных рынках имеет место совершенная конкуренция, отсутствуют внешние эффекты и затраты. Один из продуктов облагается налогом с оборота, производители

другого товара получают дотации из госбюджета.

К нарушению какого из необходимых условий Парето-оптимальности это может привести?

12. Общество состоит из двух индивидуумов: A, B. Функции индивидуального спроса на некоторое общественное благо имеют вид: Q_А = 100 – P, Q_В = 70 – P.

Предельные затраты на производство общественного блага постоянны (не зависят от объема производства) и равны 80 ден. ед. на каждую единицу.

а) Определить Парето-оптимальный объем производства общественного блага.

б) Если это общественное благо продавать потребителям по индивидуальным ценам, то какими они должны быть?

13. Общество состоит из трех индивидуумов: A, B и C. Функции индивидуального спроса на некоторое общественное благо имеют вид: Q_А = 80 – P, Q_В = 70 – P, Q_С = 30 – P.

Предельные затраты на производство общественного блага постоянны (не зависят от объема производства) и равны 120 ден. ед. на каждую единицу.

а) Определить Парето-оптимальный объем производства общественного блага.

б) Если это общественное благо продавать потребителям по индивидуальным ценам, то какими они должны быть?

в) Допустим, производство общественного блага финансирует правительство за счет налогов. Каждый индивидуум платит налог в размере 40 ден. ед. за каждую единицу общественного блага. На голосование поставлен вопрос об увеличении производства общественного блага сверх Парето-оптимального объема на 5 единиц. Какими будут итоги голосования?

г) Определить равновесный объем производства общественного блага в результате прямого голосования по принципу большинства.

14. Кривая производственных возможностей описывается уравнением вида X² + Y² = 200. Функция полезности общества: U(X, Y) = X + Y.

15. Готовность платить за обучение в вузе описывается функцией P = 60 – 0,4N, где P – размер оплаты (млн. ден. ед.), а N – число готовых платить (млн. чел.). Предельная внешняя выгода от образования, выраженная в деньгах, имеет вид: MSB = 80 – 0,4N. Общие затраты образовательного учреждения по подготовке специалистов: TC = 20N – N².

а) Определить величину внешнего эффекта (MEB) от обучения в вузе 1 и 2 тыс. чел.

б) Рассчитать число студентов, соответствующее максимуму полезности молодежи и максимуму общественной полезности.

в) Рассчитать величину платы за обучение и дотации за 1 и 2 тыс. студентов, соответствующие максимальной общественной полезности от обучения в вузе.

16. Функция затрат завода по производству удобрений имеет вид: TC₁ = 20 + 20Q₁ + 0,5Q₁². Удобрения можно продавать по цене P₁ = 30. Затраты птицефермы, использующей то же озеро, что и завод, имеют вид: TC₂ = 4 + 5Q₂ + 0,4Q₂² + Q₁². Они растут с увеличением выпуска удобрений. Птицеферма может продавать продукцию по цене P₂ = 85. Оба предприятия стремятся к максимизации прибыли.

а) Определить объем выпуска и прибыль каждого предприятия, если озеро – бесплатное общественное благо.

б) Птицеферма приобрела право взимать фиксированную плату с завода за каждую единицу выпуска. Какая плата будет установлена и каковы будут объемы выпуска и прибыль у фермы и завода?

в) Завод по производству удобрений приобрел право на загрязнение озера в необходимых для него размерах. Какую фиксированную плату птицеферма сможет предложить заводу за каждую единицу уменьшения выпуска? Каковы будут объемы выпуска и величина прибыли?

г) Что произойдет, если завод и птицеферма объединятся в единый комбинат?

Определить оптимальный объем производства товаров X и Y.

17. Определить равновесные цены в экономике, которая состоит из двух отраслей с функциями спроса и предложения вида:

Q_A^D = 8 + 3P_B – 2P_A; Q_A^S = 10 – 2P_B + P_A;

Q_B^D = 14 + 2P_A – P_B; Q_B^S = 17 – P_A + 0,5P_B.

Какое будет соотношение между объемами спроса и предложения в каждой из отраслей, если Р_А = 1,5; Р_В = 1,2? Восстановится ли при такой системе цен совместное равновесие на обоих рынках?