6. Ортогональное представление сигналов.

Вычисление спектральных составляющих сигнала значительно упрощаются при выборе в качестве базиса системы ортогональных функций.

Систему функций ₀(t), ₁(t), . . ., _k(t), . . ., _j(t), . . ., _n(t) называют ортогональной на отрезке [t_a, t_b] если для всех k = o,n; j = o,n, за исключением случаев k = j, удовлетворяется условие

(3)

эта система функций будет ортонормированной (ортонормальной), если для всех j = o,n справедливо соотношение

(4)

Если (4) не выполняется и

то систему можно нормировать, умножая функции _j(t) на .

Определим коэффициенты С_k при представлении сигнала U(t) совокупностью ортонормированных функций в виде

(5)

предполагая, что интервал [t₁, t₂] лежит внутри отрезка ортонормальности [t_a, t_b].

Правую и левую части (5) умножаем на _j(t) и интегрируем на интервале [t₁, t₂]:

(6)

В силу справедливости (3) все интегралы в правой части (6) при k  j будут равны 0. При k = j в соответствии с (4) интеграл равен 1.

Следовательно

(7)

В теоретических исследованиях обычно используются полные системы ортогональных функций, обеспечивающих сколь угодно малую разность непрерывной функции U(t) и представляющего ее ряда при неограниченном увеличении числа его членов. Разность оценивают по критерию

(8)

При этом говорят о среднеквадратической сходимости ряда к функции U(t).

Широко известной ортонормированной системой является совокупность тригонометрических функций кратных аргументов:

Она ортонормальна на отрезке [-,]. Т.к. соответствующее разложение исторически появилось первым и было названо рядом Фурье, то соотношения (5) часто именуют обобщенным рядом Фурье, а значения C_k – обобщенными коэффициентами Фурье.

В теории сигналов доказывается, что любой периодический сигнал U(t), имеющий на периоде конечное число точек разрыва первого ряда, может быть представлена в виде

(*)

Иными словами, периодический сигнал U(t) сложной формы может быть разложен на элементарные гармонические колебания с амплитудой А_к, частотой к₁ и начальной фазой _к. Здесь ₁ – круговая частота первой гармоники (Т₁=2/₁).

Если знать, что

и ввести обозначение

то выражение (*) примет вид

(**)

Здесь А=U₀/2 представляет нулевую гармонику. Выражение (**) представляет разложение периодического сигнала U(t) в ряд Фурье. При этом коэффициенты ряда Фурье могут быть определены по формулам

Легко заметить, что амплитуда А_к и начальная фаза _к в разложении (*) равны

и

Отметим важное свойство системы функций

cos₁t, sin₁t, cos2₁t, sin2₁t, . . . ,cosk₁t, sink₁t, используемых в разложении (**). Это свойство состоит в том, что интеграл взятый от произведения любых двух функций на периоде Т=2/₁, равен нулю, т.е.

,

где Р – действительное число; l – натуральное число (l  к). Указанное свойство называется ортогональностью.