24. Квантование по времени. Теорема Котельникова.

Передачу непрерывного сигнала y=f(t), отображающую закон изменения во времени измеряемой величины X(t), обычно заменяют передачей ряда мгновенных значений отдельных ординат этой функции, взятых через некоторые интервалы времени. Нетрудно видеть, что без этого невозможно, например, использование кодовых сигналов, т.к. передач каждого кодированного сообщения занимает конечное время. Точно также неизбежна дискретизация по времени при использовании модулированных импульсных сигналов, рассматриваемых далее, и особенно при использовании одного канала связи для передачи значений нескольких меняющихся во времени измеряемых величин.

При равномерном квантовании по времени руководствуются теоремой В.А.Котельникова, указывающей при каких условиях непрерывная функция времени может быть восстановлена идеально точно по значениям ее дискретных ординат. Формулировка теоремы следующая.

Если непрерывная функция времени f(t) не содержит составляющих с частотой выше F_max, то она вполне определяется дискретными значениями, отсчитываемыми через интервалы времени

Доказательство этой теоремы основывается на возможности представления функции f(t), имеющей ограниченный спектр, в виде ряда

(1)

Функция

(2)

Здесь k- целые числа, как положительные, так и отрицательные; t – время; t – постоянная величина, равная 1/F_max.

Не рассматривая математического доказательства такого разложения, приведем только его геометрическую интерпретацию графиком, показанным на рис. 3.

Рис. 3. Разложение функции f(t) в ряд составляющих (k,t), где k – целое число

Из рисунка видно, что каждое из слагаемых является функцией времени с убывающей амплитудой. Если в (2) индексу k придать некоторое значение l, то в момент t_l=lt функция (kt) становится неопределенностью вида 0/0, т.к. множитель (t-lt) в знаменателе равен нулю и числитель тоже будет равен нулю. Для раскрытия неопределенности берем отношение производных:

Учитывая (2), получаем

т.е. каждое слагаемое с любым номером l в момент времени t=lt становится равным f(t).

В тот же момент времени все остальные слагаемые с номером ml будут иметь множитель

Но и, следовательно,

, т.к. l и m – целые числа, т.е. все слагаемые в момент времени t=lt становятся равными нулю, кроме слагаемого с номером l, которое в этот момент равно f(t).

Таким образом, на основе теоремы Котельникова делают вывод, что для информации о непрерывной величине достаточно передавать ее значение через интервалы времени

, (3)

где F_max – частота наивысшей гармонической составляющей.

25. Понятие модуляции.

Процесс воздействия на носитель сообщения для изменения его параметров в целях создания сигнала, называют модуляцией.

Модуляция носителя сообщений, является необходимым условием передачи сведений о чем-либо, т.к. без модуляции не может возникнуть сигнал.

В современной технике передачи информации носителем сообщения, наиболее широко применяемым является электрический ток или напряжение. Для передачи информации используют постоянный, переменный синусоидальный и импульсный токи, вследствие чего способы модуляции имеют характерные особенности.

Постоянный ток. Постоянный ток (или напряжение) имеет только один параметр, который можно изменять, - силу тока (или напряжения), поэтому возможен только один способ модуляции постоянного тока – изменения его значения. Сигналы, создаваемые путем модуляции постоянного тока, являются непрерывными и используются для передачи информации о непрерывных величинах по рассмотренной ранее схеме (рис.1).

Переменный синусоидальный ток. (или напряжение)

(4)

характеризуется тремя параметрами: амплитудой U₀, частотой f₀ и фазой ₀.

Формула (4) отражает закон изменения носителя информации – переменного напряжения – до начала его модуляции. (символы параметров фазы с индексом 0 (нуль)).

Изменения параметров переменного напряжения (одного или в комбинации) является его модуляцией и создает сигнал для передачи информации. Используют три вида модуляции синусоидального напряжения или тока: амплитудную, частотную и фазовую.