22. Основные свойства спектральной плотности.

Поскольку понятие спектральной плотности стационарно случайного процесса играет большую роль при исследовании преобразования сигналов линейными системами, уточним ее свойства и физический смысл.

Отметим, что в формулах (101) и (102) S_uu(w) определима как для положительных, так и для отрицательных частот. Перейдем к одностороннему спектру, ограничиваясь только положительными частотами. Воспользовавшись формулой Эйлера, представим соотношение (102), состоящим из двух слагаемых

В силу частности функции R_u(t) второе слагаемое равно нулю, а первое можно преобразовать к виду

(105)

Из (105) следует, что S_uu(w) является действительной и четной функцией, т.е.

S_uu(w) = S_uu(-w) (106)

Это позволяет ограничиться положительными частотами и в (101):

(107)

Соотношения (101) и (102), а также (105) и (107) являются парами интегрального преобразования Фурье, причем (105) и (107) для случая четной функции. Поэтому корреляционная функция и спектральная плотность подчинены закономерности: чем протяженнее кривая S_uu(w), тем уже корреляционная функция R_u(t) (тем меньше время корреляции) и наоборот.

Площадь ограниченная непрерывной кривой S_uu(w) по спектральной диаграмме, очевидно должна равняться дисперсии D_u случайного процесса U(t). Действительно, положив в формуле (107) t = 0, получим

(108)

Подразумевая под случайным процессом U(t) напряжение, D_u можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую этим напряжением на резисторе с сопротивлением в 1 Ом:

(109)

следовательно, величина

(110)

представляет собой долю средней мощности, выделяемой составляющими спектра, относящимися к интервалу частот (w,w + dw).

В связи с этим спектральную плотность S_uu(w) называют еще спектральной плотностью мощности, а также энергетическим спектром стационарного случайного процесса, поскольку S_uu(w) имеет размерность энергии.

Спектральная плотность мощности случайного процесса является средней характеристикой множества реализаций. Ее можно получить и путем усреднения спектральной плотности мощности реализации P_k(w) (62) по множеству реализаций.

Рассмотрим с этой целью одну реализацию стационарного случайного процесса U(t) сначала на ограниченном интервале времени –Т<t<T. Для нее можно записать преобразование Фурье:

(111)

В соответствии с (63) спектральная плотность мощности этой реализации

(112)

Найдем среднее значение по множеству реализаций k. Имеем

или

(113)

Т.к. мы предполагаем, что случайный процесс стационарный, то

(114)

где t₁ – t₂ = t.

При выполнении условия (114) для выражения (113) существует предел при Т®¥:

(115)

что и требовалось доказать.

23. Дискретизация непрерывных величин.

Одой из наиболее часто встречающихся задач информационно-измерительной техники является передача сведений о числовом значении физической величины, характеризующей, например, ход какого-либо технологического процесса. По своей природе все физические величины являются непрерывными. Передача информации о непрерывной величине может осуществляться, например, по структурной схеме, приведенной на рисунке. Величина Х подается на вход преобразователя 1, на выходе которого получается также электрическая непрерывная величинаY, (ток, напряжение, частота), причем Y = F (X).

Рис. 1. Схема передачи информации о непрерывной величине.

Величина Y поступает в канал связи 2, на приемном конце которого включен электроизмерительный прибор со шкалой, градуированной в единицах величины Х. Схема эта проста и широко применяется. Недостатки этого способа:

• сильное влияние помех, искажающих результат;

• сложность обработки аналоговой информации;

• сложность передачи информации на большие расстояния.

Поэтому передача измерительной информации о непрерывных величинах в настоящее время производится с применением дискретизации передаваемой величины.

Ранее уже говорилось о дискретизации сигналов (формы представления детерминированных сигналов) вернемся к ней еще раз.

На рис. 2 дан график, поясняющий идею дискретизации. Если имеется непрерывная величина Y = f(t), то диапазон возможных значений ее можно разбить на «n» уровней с шагом y и в дальнейшем при передаче сведений, например в момент времени t₁, сообщать не действительное значение величины, равное y=f(x), а дискретное рациональное число y_kв = k_iy, соответствующее ближайшему уровню квантования k_i.

При этом передача сведений будет происходить с неизбежными погрешностями. Погрешность квантования является случайной величиной. Можно показать, что закон ее распределения будет равномерным с диапазоном возможных значений от –0,5y до +0,5y. Плотность вероятности погрешности квантования в указанных пределах будет

при среднем квадратичном отклонении

Уменьшая шаг квантования, можно получить желаемую точность сведений.

Замену бесконечно большого числа возможных значений непрерывной величины рядом дискретных рациональных значений называют дискретизацией или квантованием величины по уровню. Осуществив квантование, можно кодировать все n уровней квантования и передавать информацию о величине Y уже с использованием кода, что обеспечивает наибольшую надежность и правильность передачи информации (на большие расстояния).