Теоретичні відомості

Процес побудови математичної моделі для розв’язування поставленої задачі можна почати з відповідей на три наступні запитання.

1. Для визначення яких величин повинна бути побудована модель?

Іншими словами, як ідентифікувати змінні (величини, які потрібно знайти )

15

_{даної задачі?}

2. Які обмеження повинні бути накладені на змінні, щоб виконувалися умови, які характерні для системи, яку моделюють.

3. У чому суть мети, для досягнення якої з усіх допустимих значень змінних потрібно вибрати ті, котрі будуть відповідати оптимальному (найкращому) розв’язку задачі?

Конструктивний шлях формулювання відповідей на поставлені запитання полягає в тому, щоб словесно виразити суть проблем. Розглянуту ситуацію можна охарактеризувати в такий спосіб.

Фабриці потрібно визначити обсяги виробництва (у тонах) кожного виду плиток, які максимізують дохід (у тисячах ум. од.) від реалізації продукції, з урахуванням обмежень на попит і обмежень на витрати вихідних продуктів.

Труднощі побудови математичної моделі полягають в ідентифікації змінних і наступному представленні мети і обмежень у виді математичних функцій цих змінних. У розглядуваному випадку ми маємо наступне.

Змінні. Тому що потрібно визначити обсяги виробництва кожного виду

_{плитки, то змінними в моделі є:}

x₁

тонах),

x ₂

_тонах).

- добовий обсяг виробництва плитки для зовнішніх робіт „Зн” (у

- добовий обсяг виробництва плитки для внутрішніх робіт „Вн” (у

_{Цільова функція. Тому що вартість 1 т плитки „Зн” дорівнює 3 тис. ум.}

од., добовий дохід від її продажу складе

^3x₁

тис. ум. од. Аналогічно дохід від

реалізації

^x ₂ ^{тон плитки „Вн” складе}

^2x ₂

тис. ум. од. на добу. При допущенні

незалежності обсягів збуту кожного виду плиток загальний дохід дорівнює сумі двох доданків — доходу від продажу плитки „Зн” и доходу від продажу плитки

„Вн”. Позначивши загальний дохід (у тис. ум. од.) через z. Можна дати

_{наступне математичне формулювання цільової функції: визначити (допустимі)}

значення

x₁ і

x ₂ , які максимізують величину загального доходу

^{z 3x}₁

16

^2x ₂ ^.

Обмеження. При розв’язуванні розглядуваної задачі повинні бути враховані обмеження на витрату вихідних продуктів і попит на плитку, яку виготовляють. Обмеження на витрати вихідних продуктів можна записати в

_{такому вигляді:}

_{ Âитратè âèõ³äíîãî}

_

_

_{  Ìаксимальí}

_{î можливиé}

_{çàïàñ }

_ ^{продуктó}

_

^{äëÿ виробництâ à} _

_

_

_{ даногî}

_{âèõ³äíîãî}

_

_{продуктó }

_ ^äâîõ

âèä³â

^плиткè _

_{Це приводить до наступних двох обмежень (див. умову задачі):}

x₁

^2x₁

2x ₂ 6 x ₂ 8

(для А), (для В).

Обмеження на величину попиту на продукцію мають вигляд:

Перевищення попиту на

плитку „Вн” відносно ≤ 1 тона/добу,

попиту на плитку „Зн”

Попит на плитку „Вн” ≤ 2 тони/добу.

_{Математично ці обмеження записуються в такий спосіб:}

x ₂

_„Зн”),

x₁ 1

(співвідношення величин попиту на плитку „Вн” і плитку

^x ₂ ²

(максимальна величина попиту на плитку „Вн”).

Неявне (очевидне) обмеження полягає в тім, що обсяги виробництва продукції не можуть приймати негативних значень (тобто бути менше нуля). Щоб запобігти одержанню таких недопустимих розв’язків, зажадаємо виконання умови невід’ємності змінних, тобто введемо обмеження на їхній

_знак:

x₁ 0

^x ₂ ⁰

(обсяг виробництва плитки „Зн”),

(обсяг виробництва плитки „Вн”).

_{Отже, математичну модель можна записати в такий спосіб.}

Визначити добові обсяги виробництва ( x ₂ і

x₁ ) плитки „Вн” і плитки

17

_{„Зн” (у тонах), при яких досягається}

max z

^3x₁

^2x ₂

(цільова функція)

_{при обмеженнях:}

x₁

2x₁

2x ₂

x ₂

^6, _

_8, ^

_

x₁ x ₂

x ₂ 2,

1, _  

^x₁ ^{0, x} ₂

^0._

Що визначає лінійний характер побудованої моделі?

З формальних позицій дана модель є лінійною тому, що усі функції, які в неї входять (обмеження і цільова функція), є лінійними, а лінійність допускає наявність двох властивостей – пропорційності й адитивності.