Симплексних таблицях, розв’язання оптимізаційної задачі в електронних таблицях Excel” (2 години)

Зміст завдання: Разв’язати економіко-математичну задачу транспортного типу методом потенціалів

Мета завдання: Навчитись самостійно формулювати задачі екомічного змісту та розв’язувати їх методом потенцаілів

Порядок виконання:

Для кожної з наведених нижче задач виконати такі дії :

1. Постановка задачі.

2. Побудова числової моделі задачі.

3. Розв’язок задачі.

4. Аналіз результатів розв’язку задачі.

5. Знайти розв’язок задачі в електронних таблицях Excel.

Задача 1

В господарстві на 4-х полях планується збір сіна, яке необхідно перевезти в сховища 5-ти тваринницьких ферм.

Очікуваний збір сіна, т:

Таблиця 1

Номер варіанту	П о л я
	1	2	3	4
01	800	480	620	180
02	860	510	580	420
03	840	500	380	140
04	840	610	425	480
05	760	560	510	560

₆₈

Номер варіанту	П о л я
	1	2	3	4
06	480	350	400	600
07	700	470	470	240
08	740	520	510	550
09	855	710	490	280
10	790	520	360	415
11	860	585	400	380
12	790	630	600	445
13	790	580	500	260
14	500	350	260	290
15	760	500	280	320
16	960	520	640	300

_{Потреба в сіні на тваринницьких фермах ,т}

Ф е р м а
1	2	3	4	5
520	700	360	480	160

_{Витрати на перевезення 1т сіна до ферми, коп.}

Поля	Ф е р м и
	1	2	3	4	5
1	8	7	6	9	3
2	6	8	9	5	7
3	3	2	6	6	4
4	6	8	7	9	8

Критерій оптимальності - мінімум витрат на перевезення сіна з полів на ферми.

Теоретичні відомості

Транспортна задача є типовою задачею лінійного програмування, отже, її розв'язок можна отримати звичайним симплексним методом. Однак, у деяких випадках застосування універсальних алгоритмів є нераціональним. Специфічна структура транспортної задачі дає змогу отримати альтернативний метод відшукання оптимального плану у вигляді простішої у порівнянні з

69

симплексним методом обчислювальної процедури. Транспортна задача належить до типу розподільчих задач лінійного програмування. Економічний зміст таких задач може стосуватися різноманітних проблем, що переважно зовсім не пов’язано із перевезенням вантажів, як, наприклад, задачі оптимального розміщення виробництва, складів, оптимального призначення тощо Деякі з таких задач розглянемо в цьому розділі.

1. Економічна і математична постановка транспортної задачі

_{Класична транспортна задача лінійного програмування формулюється}

^{так: деякий однорідний продукт, що знаходиться у m постачальників A} _I ^в

обсягах

^a₁ ^{, a} ₂ ^{,..., a} _m

^{одиниць відповідно необхідно перевезти п споживачам B} _j ^в

обсягах

^b₁ ^{, b} ₂ ^{,..., a} _n

одиниць. При цьому виконується умова, що загальний

_{наявний обсяг продукції у постачальників дорівнює загальному попиту всіх}

споживачів. Відомі вартості

^c_ij

перевезень одиниці продукції від кожного

^A _{I - го}

постачальника до кожного

_виду:

B _{j -го} споживача, що подані як елементи матриці

_{ c c}

_{K c }

_ ^{11 12}

¹ⁿ _

_{ c21}

_c22

_{K c2 n }

^{c ij } _.

_

_

_{. . .} ^

_

.

_

_ ^c_m1

^c_{m 2}

^{K c}_{mn }

Необхідно визначити план перевезень, за якого вся продукція була б вивезена від постачальників, повністю задоволені потреби споживачів і загальна вартість всіх перевезень була б мінімальною.

У такій постановці задачі ефективність плану перевезень визначається його вартістю і така задача має назву транспортної задачі за критерієм

_{вартості перевезень.}

Запишемо її математичну модель. Позначимо через

^x ij

обсяг продукції,

що перевозиться від

^A _I ^{постачальника до B} _j

споживача ⁽ⁱ

1, m; j

1, n).

70

Тоді

ви задачі зручно подати у вигляді такої таблиці:

_{Таблиця 1}

11 12 _1n

21 _{22 2 n}

Споживачі Постачальники			B1		B2		...		Bn
			b1		b2		...		bn
A1	a1	c x11		c x12		...		c x1n
A2	a2	c x 21		c x 22		...		c x 2 n
K	K	K		K		...		K
Am	am	c x m1		c x m 2		...		c x mn

^{m1 m 2} _mn

Мають виконуватися такі умови:

1) сумарний обсяг продукції, що вивозиться з кожного i-го пункту, має дорівнювати запасу продукції в даному пункті:

₂₎

^{ x}11

_

_ x ₂₁

_

^x12

^x 22

...

...

^x1n

^x2 n

a₁ ;

a ₂ ;

_ ^K

_^{ x} _m1

^K

^xm 2

^K

...

^{K K}

^x mn

^K

a _m ;

3) сумарний обсяг продукції, що ввезений кожному j- му

_{споживачеві, має дорівнювати його потребам:}

^{ x}11

_

_ x₁₂

_

^x21

^x22

...

...

^xm1

^x2 n

b₁ ;

b₂ ;

_ ^K

_^{ x}_1n

^K

^x2 n

^K

...

^{K K}

^xmn

^K

b_m ;

4) сумарна вартість всіх перевезень повинна бути мінімальною:

min F

^c11 ^x11

^c₂₂ ^x₂₂

^c12 ^x12

^c₂₂^x₂₂

K

...

71

^c1n ^x1n

^c2n ^x2n

^cm1 ^x m1

^cm 2 ^xm 2

^{K c}mn ^x mn ^.

Очевидно, що

^x_ij

0, i

1, m; i

1, n.

У скороченій формі запису математична модель транспортної задачі за

_{критерієм вартості перевезень має такий вигляд:}

_{m n}

min F

_{ } ^c _ij ^x _ij

₍₁₎

i 1 j 1

_{за обмежень:}

_n

_ ^x _ij

a _i ( i

1, m );

₍₂₎

j 1

_m

_ ^x _ij

b _j ( j

1, n );

₍₃₎

i 1

^x_ij

0, (i

1, m;

i 1, n).

(4)

_{У розглянутій задачі має виконуватися умова:}

_m

_ ^a _i

_n

_ ^b _j ^.

₍₅₎

i 1 j 1

Транспортну задачу називають збалансованою, або закритою, якщо виконується умова (5). Якщо ж така умова не виконується, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.

_{Домовимося планом транспортної задачі називати будь-який невід'ємний}

розв’язок системи обмежень (2)-(4),який позначають матрицею X

^x ij

(i 1,m;

^{j 1,n).} Значення невідомих величин

72

^x _ij ^{- обсяги продукції, що мають}

бути перевезені від i-x постачальників до j_-х споживачів, називатимемо

_{перевезеннями.}

Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю X

^x _ij

(i 1, m;

^{i 1, n),} _{яка задовільняє умові задачі, і для якої цільова функція (5.1)}

набирає найменшого значення.

Умова існування розв'язку транспортної задачі: необхідною і достатньою умовою існування розв'язку транспортної задачі (1) - (4) є її збалансованість:

_m

_ ^a _i

_n

_ ^b _j ^.

i 1 j 1

Доведення теореми можна знайти, наприклад, в 25 .

Якщо при перевірці збалансованості (5) виявилося, що транспортна задача є відкритою, то її необхідно звести до закритого типу. Це здійснюється

введенням фіктивного (умовного) постачальника

^A _{m 1}

у разі перевищення

загального попиту над запасами із обсягом ресурсу

_m

 ^ai

i 1

_n

 ^b j

j 1

^am 1 .

Якщо ж загальні запаси постачальників перевищують попит споживачів,

_{то до закритого типу задача зводиться введенням фіктивного (умовного)}

_{споживача}

_{Bn 1 з потребою}

_m

_ ^a_i

_n

_ ^b _j

^b_{n 1 .}

i 1 j 1

_{Вартість перевезення одиниці продукції від фіктивного постачальника}

^A _{m 1}

(або фіктивного споживача

^B_{n 1} ^{) до кожного зі споживачів (виробників)}

має дорівнювати нулю або бути набагато більшою за реальні витрати

^c_ij

(i 1, m;

i 1, n),

_{Як правило, у такому разі використовують нульові}

значення вартостей перевезень, що дає змогу спростити обчислення.

Як згадувалося вище, транспортна задача (1)–(4) є звичайною задачею лінійного програмування і може бути розв’язана симплексним методом, однак

73

особливості побудови математичної моделі транспортної задачі дають змогу розв'язати її простіше. Легко помітити, що всі коефіцієнти при змінних у рівняннях (2), (3) дорівнюють одиниці, а сама система обмежень (2), (3) задана в канонічній формі. Крім того, система обмежень (2), (3) складається з mn невідомих та m + n рівнянь, які пов’язані між собою співвідношенням (8). Якщо додати відповідно праві та ліві частини систем рівнянь (2) та (3), то отримаємо

_{два однакових рівняння:}

_{m n m n}

_{ } ^x_ij

_ ^a_i

_ ^b _j ^;

i 1 j 1

i 1 j 1

_{m n n m}

_{ } ^x_ij

_ ^b _j

_ ^a_i ^.

i 1 j 1

j 1 i 1

Наявність у системі обмежень двох однакових рівнянь свідчить про її

_{лінійну залежність. Якщо одне з цих рівнянь відкинути, то в загальному}

_{випадку система обмежень буде містити m}

_{n 1 лінійно незалежне рівняння,}

_{отже, їх можна розв’язати відносно m}

_{n 1базисних змінних. Назвемо}

_{опорним планом транспортної задачі такий допустимий її план, що містить не}

_{більш ніж}

_{m n 1додатних компонент, а всі інші його компоненти}

_{дорівнюють нулю. Такий план є невиродженим. Якщо ж кількість базисних}

_{змінних менша ніж m}

_{n 1, то маємо вироджений опорний план.}

Методи побудови опорного плану транспортної задачі

Як і в звичайному симплексному методі, розв'язування транспортної задачі полягає в цілеспрямованому переборі та перевірці на оптимальність опорних планів. Початком такого ітераційного процесу є побудова першого опорного плану.

Розглянемо методи північно-західного кута, мінімальної вартості, подвійної переваги та метод апроксимації Фогеля. Побудову опорного плану зручно подавати у вигляді таблиці, в якій постачальники продукції відповідають рядкам, а споживачі – стовпчикам.

74

_{Нехай умови конкретної транспортної задач і подані в табл. 2.}

Ідея методу північно-західного кута полягає в тому, що заповнення

_{таблиці починають, не враховуючи вартостей переведень, з лівого верхнього}

(північно-західного) кута. У клітину записують менше з двох чисел

^a₁ ^та

^b₁ ^.

Далі переходять до наступної клітини в цьому ж рядку або у стовпчику і заповнюють її, і т. д. Закінчують заповнення таблиці у правій нижній клітинці. У такий спосіб значення поставок будуть розташовані по діагоналі таблиці.

Розглянемо цей процес детальніше на прикладі.

_{Спочатку, не враховуючи вартості перевезень, завжди задовільняють}

потреби першого споживача

^B₁ ^{, використовуючи запаси першого}

постачальника

^A₁ ^{. У нашому прикладі (табл. 2) потреби споживача B}₁

^{становлять b}₁

110 , а запаси постачальника - ^a₁

¹⁵⁰ одиниць (тобто із запасів

_{першого постачальника можна повністю задовольнити потреби першого}

споживача), тому в клітинку

^A₁ ^B₁

записуємо менше із значень

a₁ , b₁ ,

тобто

110.

Тепер потреби першого споживача повністю задоволені, і

^{переходимо до задоволення потреб наступного (другого) споживача В}₂^{. Обсяг}

^{його потреб b}₂

50 . Після задоволення потреб першого споживача залишок

запасів першого постачальника становить 150 -110 = 40. Отже, від першого

_{виробника другому споживачеві можна перевезти лише 40 одиниць продукції,}

тому в клітину

^A₁ ^B₂

записуємо число 40. Після цього, оскільки запаси першого

_{постачальника повністю вичерпані, переходимо до використання запасів}

наступного постачальника

^A ₂ ^{. Його запаси a} ₂

⁶⁰ , а незадоволені потреби

другого споживача 50- 40 = 10, тому в клітинку

^A ₂ ^B₂

записуємо число 10, і

_{другий споживач у такий спосіб також повністю отримав необхідну кількість}

продукції. Переходимо до вдоволення потреб наступного споживача

^B₃ ^{. У}

результаті часткового використання запасів другого постачальника його

_{залишок продукції становить 60-10 = 50. Отже, від другого виробника до}

третього споживача можна перевезти 50 одиниць продукції. Клітинка

A ₂ B₃

^{міститиме зазначене число 50, і цим запаси постачальника A} ₂

75

будуть повністю

_{вичерпані. Переходимо до розподілу запасів останнього (третього)}

постачальника

^A ₂ ^{. Залишились незадоволеними потреби третього споживача в}

_{обсязі 60-50= 10. Для їх задоволення скористаємося запасами постачальника}

^A₃ ^{. У клітинку}

^A₃ ^B₃

записуємо число 10, і потреби споживача

^B₃ ^також

^{повністю задоволені. Переходимо до останнього споживача B}₄

з потребами

^b₄ ^{80 , які повністю задовольняються за рахунок залишку запасів третього}

_{постачальника: 90 - 10 = 80.}

_{Таблиця 2}

Постачальники	З Запаси	Споживачі
		В 1	В2	В 3	В4
		Потреби
		b 1= 110	b 2 = 50	b 3 = 60	b4 = 80
А1	а 1 = 150	4 110	4 40	2	5
А2	а2 = 60	5	3 10	1 50	2
А3	а3 = 90	2	1	4 10	2 80

Отже, в табл. 2 у заповнених клітинках знаходяться числа, що означають можливий план перевезень продукції. Сума чисел (перевезень) по рядках дорівнює обсягам запасів постачальників, а сума чисел по стовпцях – обсягам потреб відповідних споживачів.

Аналогічний результат можна отримати, якщо почати з правого нижнього кута таблиці, рухаючись до лівого верхнього. Процедуру методу можна застосовувати також, починаючи розподіл поставок з лівого нижнього кута і рухаючись до правого верхнього по діагоналі. В такому разі спосіб розподілу перевезень можна було б назвати методом південно-західного кута, тому цей

76

метод ще називають діагональним. Метод північно-західного кута є найпростішим, однак і найменш ефективним. Процес відшукування оптимального плану після початкового опорного, який визначений методом північно-західного кута, пов’язаний зі значним обсягом обчислювальних робіт, тому його реалізують на ЕОМ.

Визначимо загальну вартість перевезень згідно з початковим опорним планом. Від першого постачальника до першого споживача необхідно перевезти 110 одиниць продукції за ціною 4 ум. од. (ціна записана в правому верхньому куті кожної клітини), отже, це коштуватиме 110 4 = 440 ум. од. Крім того, необхідно перевезти від першого постачальника 40 одиниць продукції до другого споживача за ціною 4 ум. од. і т. д. У такий спосіб визначимо загальну вартість усіх перевезень:

F = 110 • 4 + 40 • 4 +10 • 3 + 50 • 1 +10 • 4 + 80 • 2 = 880 (ум. од.).

Згідно теореми, яку ми приймемо без доведення: опорний план транспортної задачі, який знайдений методом північно-західного кута, завжди ациклічний.

Наведені властивості опорних планів стосуються і тих планів, що отримані розглянутими нижче іншими способами, які певною мірою є модифікаціями методу північно-західного кута.

Очевидно, якщо за побудови опорного плану враховувати вартості перевезень, то сумарна вартість всіх постачань може бути зменшена, і отриманий опорний план буде ближчим до оптимального.

Ідея методу мінімальної вартості полягає в тому, що на кожному кроці заповнюють клітинку таблиці, яка має найменшу вартість перевезення одиниці продукції. Такі дії повторюють доти, доки не буде розподілено всю продукцію між постачальниками та споживачами.

_{Складемо за допомогою цього методу план розглянутої задачі (табл.3).}

^{Найменшу вартість мають перевезення, які здійснюються від A} ₂

^{до B}₃ ^та

від

A₃ , до B₂

(ціна перевезення одиниці продукції – 1 ум. од.).

Заповнимо будь-яку з них, наприклад,

77

^A ₂ ^B₃ ^{. Оскільки постачальник має}

_{60 одиниць продукції, а споживач потребує саме такої її кількості, то в клітину}

^A ₂ ^B₃

ставимо значення 60. У такий спосіб запаси другого постачальника

повністю вичерпані, а потреби третього споживача повністю задоволені. Також

_{мінімальною є вартість перевезень від третього постачальника до другого}

споживача, тому заповнимо також клітину

^A₃ ^B₂ ^.

З клітинок таблиці, що залишились незаповненими, вибираємо наступне

_{мінімальне значення вартості перевезень, яке дорівнює 2 ум. од. – для клітин}

^A₁ ^B₃ ^,

^A ₂ ^B₄ ^,

^A₃ ^B₁ ^та

^A₃ ^B₄ ^{. Заповнення клітин}

^A ₂ ^B₄

^{та A}₁ ^B₃

неможливе,

^{оскільки постачальник A} ₂

вже повністю вичерпав власний обсяг запасів,

задовольняючи потреби споживача

^B₃ ^{а споживач}

^B₃ ^{, повністю задовольнив}

свої потреби. Отже, можна заповнити тільки клітину

^A₃ ^B₁ ^чи

^A₃ ^B₄ ^.

Заповнимо

^A₃ ^B₁ ^{. Обсяг запасів a} ₃

= 90, причому 50 одиниць продукції вже

надано другому споживачеві. Отже, маємо залишок 90 - 50 = 40, а потреби

^b₁ ^{=110, тому від третього постачальника до першого споживача плануємо}

перевезти 40 одиниць продукції. Тепер у клітину

^A₃ ^B₄

не можна записати

будь-який обсяг постачання, оскільки запаси третього постачальника вже повністю вичерпані.

Знову вибираємо найменшу вартість для клітин таблиці, що залишилися пустими, і продовжуємо процес доти, поки всі запаси не будуть розподілені, а

_{потреби – задоволені.}

Таблиця 3

bj ai	b1=110	b 2=50	b 3 = 60	b 4=80
a 1= 150	4 70	4	2	5 80
a 2=60	5	3	1 60	2
a 3 =90	2 40	1 50	4	2

78

В результаті таких міркувань отримали початковий опорний план,

загальна вартість перевезень для якого становить:

F = 70• 4 + 80• 5 + 60• 1 + 50• 1 + 40 • 2 = 870 (ум. од.).

Значення цільової функції менше за попередній варіант, значить цей план ближчий до оптимального.

Метод подвійної переваги. Якщо розмірність задачі досить велика, то перебір за методом мінімальної вартості ускладнюється. В такому випадку для спрощення пошуку клітин з найменшими вартостями застосовують метод

_{подвійної переваги.}

_{Таблиця 4}

bj ai	b1=110	b2=50	b3=60	b4=80
a1=150	4 110	4	V2	5 40
a2=60	5	3	VV1 60	V2
a3=90	V2	VV1 50	4	V2 40

Згідно з процедурою цього методу перед початком заповнення таблиці необхідно позначити будь-якими символами клітинки, які містять найменшу вартість у рядках, а потім – у стовпчиках. Таблицю починають заповнювати з клітинок, позначених двічі (які містять вартості, що є мінімальними і в рядку, і в стовпчику). Далі заповнюють клітинки, позначені один раз (що містять мінімальні вартості або в рядку, або в стовпчику), а вже потім – за методом мінімальної вартості.

F = 110• 4 + 40• 5 + 60 • 1 + 50 • 1 + 40 • 2 = 830 (ум. од.).

Застосування для побудови опорного плану даного методу дає можливість отримання найменшого значення цільової функції в порівнянні з розглянутими вище методами. Отже, такий план є найближчим до оптимального.

Випадок виродження опорного плану транспортної задачі

Опорний план транспортної задачі, як зазначалося раніше, має містити не

_{більше ніж ( m}

79

_{n 1) відмінних від нуля компонент. Якщо їх кількість}

_{дорівнює ( m}

_{n 1), то такий опорний план називають невиродженим. Якщо ж}

_{кількість додатних компонент менша ніж ( m}

_{n 1), то опорний план є}

виродженим. Вироджений план може виникати не лише за побудови опорного плану, але і при його перетвореннях у процесі знаходження оптимального плану.

Найчастіше, щоб позбутися виродженості опорного плану, в деякі клітини таблиці транспортної задачі в необхідній кількості вводять нульові постачання. Обсяги запасів постачальників і потреби споживачів після цього не змінюються, однак клітини зі значенням «нуль» вважаються заповненими.

_{Приклади розв'язування транспортних задач методом потенціалів}

Приклад 1. Компанія контролює три фабрики

^A₁ ^,

^A ₂ ^,

^A₃ ^{, які здатні}

_{виготовляти відповідно 150, 60 та 80 тис. од. продукції щотижня. Вона уклала}

договір із чотирма замовниками

^B₁ ^,

^B₂ ^,

^B₃ ^,

^B₄ ^{, яким потрібно щотижня}

доставляти відповідно 110, 40, 60 та 80 тис. од. продукції. Вартість транспортування 1000 од. продукції замовникам з кожної фабрики наведена в

_{табл. 6.}

_{Таблиця 6}

Фабрика	Вартість транспортування 1000 од продукції замовнику
	В1	В2	В3	В4
А1	4	4	2	5
А2	5	3	1	2
А3	2	1	4	2

Визначити оптимальний план перевезень продукції від кожної фабрики

_{до замовників, що мінімізує загальну вартість транспортних послуг.}

Побудова математичної моделі. Нехай

^x _ij

- кількість продукції, що

_{перевозиться з і –ї фабрики до j -го замовника} ⁽ⁱ

1,3; j

1,4).

_{Оскільки}

транспортна задача за умовою є збалансованою, закритою

₈₀

_m

⁽^a_i

i 1

_n

^b _j

j 1

290),

то математична модель задачі матиме вигляд:

_ ^x₁₁

_

^{ x} ₂₁

_

_ ^x₃₁

^x12 ^x 22 ^x32

^x13 ^x 23 ^x33

^x14 ^x24 ^x34

150;

60;

80.

Економічний зміст записаних обмежень полягає в тому, ще вся вироблена на фабриках продукція має вивозитися до замовників повністю.

Аналогічні обмеження можна записати відносно замовників: продукція,

що може надходити до споживача від трьох фабрик, має повністю задовольняти його попит. Математично це записується так:

_ ^x₁₁

 ^{ x}12  _ ^x13

^_ ^x₁₄

^x21 ^x 22 ^x 23 ^x 24

^x31 ^x32 ^x33 ^x34

110;

40;

60;

80.

Загальні витрати, пов'язані з транспортуванням продукції, визначаються як сума добутків обсягів перевезеної продукції на вартості транспортування

1000 од. продукції до відповідного замовника і за умовою задачі мають бути

_{мінімальними. Тому формально це можна записати так :}

min Z

2 x₃₁

4 x₁₁

^x₃₂

4 x₁₂

4 x₃₃

2 x₁₃

2 x₃₄ .

5 x₁₄

5 x₂₁

3x₂₂

^x23

2 x₂₄

_{Загалом математична модель сформульованої задачі має вигляд:}

min Z

2 x₃₁

4 x₁₁

^x₃₂

4 x₁₂

4 x₃₃

2 x₁₃

2 x₃₄ ,

5 x₁₄

5 x₂₁

3x₂₂

^x23

2 x₂₄

_{за умов:}

_ x₁₁

_

^{ x} ₂₁

_

 ^x31

^x12 ^x 22 ^x32

^x13 ^x 23 ^x33

^x14 ^x24 ^x34

150;

60;

80.

_ ^x₁₁

 ^{ x}12  _ ^x13

^_ ^x₁₄

^x21 ^x 22 ^x 23 ^x 24

^x31 ^x32 ^x33 ^x34

81

110;

40;

60;

80.

^x _ij ^{0 ,}

i 1,3; j

1,4.

Розв'язання. Запишемо умови задачі у вигляді транспортної таблиці (табл. 7) та складемо її перший опорний план у цій таблиці методом мінімальної вартості.

Загальна вартість перевезень продукції згідно з першим опорним планом визначається у такий спосіб:

Z₁ = 4 • 110 + 5 • 40 + 1 - 60 + 1 • 40 + 2 • 40 = 820 (ум. од.).

_{Перший опорний план транспортної задачі вироджений, оскільки}

кількість		заповнених	клітинок	у	таблиці	дорівнює	п'яти,	а
m n 1	3	4 1 6 .

_{Таблиця 7}

Ai	B i								u i
	b 1 =110	b 2 = 40	b 3 = 60		b 4 = 80
a 1 =150	4 110	4	2		5			u 1 = 5
			2	+	40 _
a 2 = 60	5	3		_ 1	+	2	u 2 = 2
			60		0
a 3 =80	2	1 40	4		2 40			u 3 = 2
j	1 = - 1	2 = - 1	3 = - 1		4 = 0

Для дальшого розв’язування задачі необхідно в одну з порожніх клітинок записати «нульове перевезення» так, щоб не порушити опорності плану,тобто

82

_{можна зайняти будь-яку пусту клітинку, яка не утворює замкненого циклу із}

заповненими клітинами. Наприклад, заповнимо нулем клітинку

^A ₂ ^B₄ ^{. Тепер}

перший план транспортної задачі є невиродженим, і його можна перевірити на

_{оптимальність методом потенціалів.}

^{На основі першої умови оптимальності u} _i ^v _j

^c_ij

складемо систему

рівнянь (для заповнених клітин таблиці) для визначення потенціалів першого

_{опорного плану:}

_ ^u ₁

_

_ ^{u 1}

^{ u} ₂

_

_ ^{u 2}

_{ u}

₁ 4 ;

₄ 5 ;

₃ 1;

₄ 2 ;

_1;

_ ³

_^{ u} ₃

2

₄ 2 .

_{Записана система рівнянь є невизначеною, і один з її розв'язків дістанемо,}

^{узявши, наприклад, v}₄

0 . Тоді всі інші потенціали однозначно визначаються з

_{цієї системи рівнянь:} ^u₁

^{5; u}₂

^{2; u}₃

^2; ₁

^1; ₂

^1; ₃ ^1.

Ці значення потенціалів першого опорного плану записуємо у транспортну таблицю.

_{Потім згідно з алгоритмом методу потенціалів перевіряємо виконання}

_{другої умови оптимальності} ^u_i

_j ^c _ij

(для порожніх клітинок таблиці):

A ₁ B ₂

A ₁ B ₃

A ₂ B ₁

A ₂ B ₂

^A ₃ ^B ₁

: u ₁

: u ₁

: u ₂

: u ₂

^{: u} ₃

2

3

1

5	( 1)	4	4 ;
5	( 1)	4	2 ;
2	( 1)	1	5 ;

₂ 2 ( 1) 1 3;

₁ ^{2 ( 1) 1 2 ;}

A ₃ B ₃

: u ₃

₃ 2 ( 1) 1 4 .

Умова оптимальності не виконується для клітинки

83

^A₁^B_{3 .} ^{Порушення}

₁₃ ^u₁

₃ ^c₁₃

4 2 2

записуємо в лівому нижньому кутку

відповідної клітинки.

Отже, перший опорний план транспортної задачі неоптимальний. Тому від нього необхідно перейти до другого плану, змінивши співвідношення

_{заповнених і порожніх клітинок таблиці.}

Потрібно заповнити клітинку

^A₁^B₃ ^{, в якій є єдине порушення умови}

_{оптимальності. Ставимо в ній знак «+». Для визначення клітинки, що}

звільняється, будуємо цикл, починаючи з клітинки

_{вершини циклу почергово знаками «-» і «+».}

A₁B₃ , та позначаємо

_{Тепер необхідно перемістити продукцію в межах побудованого циклу.}

Для цього у порожню клітинку

^A₁^B₃

переносимо менше з чисел

^x _ij ^{, які}

розміщені в клітинках зі знаком «-». Одночасно це саме число

^x _ij

додаємо до

відповідних чисел, що розміщені в клітинках зі знаком «+», та віднімаємо від

_{чисел, що розміщені в клітинках позначених знаком «-».}

У даному разі

min 60, 40

40,

тобто

^{min x} _ij

40.

Виконавши

_{перерозподіл перевезень продукції згідно із записаними правилами, дістанемо}

такі нові значення: для клітинки

^A₁^B₃

— 40 од. продукції, а для

^A ₂ ^B₃

- (60 -

40) = 20 од., а для

^A ₂ ^B₄

- (0 + 40) = 40 од. Клітинка

^A₁^B₄

звільняється і в новій

таблиці буде порожньою. Усі інші заповнені клітинки першої таблиці, які не входили до циклу, переписуємо у другу таблицю без змін. Кількість заповнених

_{клітинок у новій таблиці також має відповідати умові невиродженості плану,}

_{тобто дорівнювати ( m}

_{n 1).}

Отже, другий опорний план транспортної задачі матиме такий

_{вигляд (табл. 8):}

Таблиця 8

Ai	B i					u i
	b 1 =110	b 2 = 40	b 3 = 60	b 4 = 80

₈₄

a ₁ =150

^a ₂ ^{= 60}

4

110

_

4 2

40 +

u ₁ = 0

5

^u ₂ ^{= -1}

5 3 1

_{20 _}

2

_{40 +}

a ₃ =80

2 1

_{1 + 40}

4 _ 2

40

u ₃ = -1

_{j 1} = 4 ₂ = -2 ₃ = 2 ₄ = 3

Розрахуємо значення цільової функції відповідно до другого опорного плану задачі:

Z₂ = 4 • 110 + 2 • 40 + 1 • 20 + 2 • 40 + 1 • 40 + 2 • 40 = 740 (ум. од.).

Новий план знову перевіряємо на оптимальність, тобто повторюємо описані раніше дії.

_{Другий опорний план транспортної задачі також неоптимальний (має}

місце порушення для клітинки

^A₃ ^B₁ ^).

За допомогою побудованого циклу, виконавши перехід до третього опорного плану транспортної задачі, отримуємо табл. 9.

Визначимо загальну вартість витрат на транспортування продукції згідно з третім опорним планом:

Z₃ = 4 • 90 + 2 • 60 + 2 • 60 + 2 • 20 + 1 • 40 + 2 • 20 = 720 (ум. од.).

Перевірка останнього плану на оптимальність за допомогою методу потенціалів показує, що він оптимальний. Тому:

_{ 90}

_

_{0 60 0 }

_

_

^{X *} _ ⁰

^{0 0 60}_^.

^ _{20 40 0}

_

₂₀^

_{Таблиця 9}

B _i

₈₅

Ai	b 1 =110	b 2 = 40	b 3 = 60	b 4 = 80	u i
a 1 =150	4 90	4	2 60	5	u 1 = 2
a 2 = 60	5	3	1	2 60	u 2 = 0
a 3 =80	2 20	1 40	4	2 20	u 3 = 0
j	1 = 2	2 = 1	3 = 0	4 = 2

За оптимальним планом перевезень перший замовник отримує 90 тис. од. продукції з першої фабрики та 20 тис. од. – з третьої. Другий споживачзадовільняє свій попит за рахунок виробництва та перевезення 40 тис. од. продукції з третьої фабрики і т. д. При цьому загальна вартість перевезень всієї продукції є найменшою і становить 720 ум. од.

Контрольні питання:

1. Наведіть загальні постановку транспортної задачі

2. Які методи побудови початкових розв’язків транспортної задачі Ви знаєте.

3. Наведіть алгоритм методу північно-західного кута

4. Наведіть алгоритм методу найкращого елемента таблиці

5. Наведіть алгоритм методу потенціалів

6. Наведіть критерій оптимальності методу потенціалів

7. Наведіть алгоритм розв’язання транспортної задачі в електронних таблицях

Excel.

86