Теоретичні відомості

Природа автокореляції

Одним із припущень класичного регресійного аналізу є припущення про незалежність випадкових величин. Якщо це припущення порушується, то ми маємо справу з автокореляцією. В регресійній моделі автокореляція наявна у разі, коли випадкові величини залежні між собою, тобто:

^E( _{i j} ⁾

0, i j _.

Потрібно розрізняти поняття автокореляції і серійної кореляції. Автокореляцією називається залежність між значеннями однієї вибірки з запізненням в один лаг. Автокореляція може бути як позитивною, так і негативною. Автокореляція може виникнути у зв’язку з інерційністю та циклічністю багатьох економічних процесів. Провокувати автокореляцію може

133

і неправильно специфікована функціональна залежність у регресійних моделях та лагові запізнення в економічних процесах.

Тестування автокореляції

Найбільш відомим і поширеним тестом перевірки моделі на наявність кореляції між залишками є тест Дарбіна-Уотсона. На відміну від багатьох інших тестів, перевірка за тестом Дарбіна-Уотсона складається з декількох етапів і включає зони невизначеності.

Розглянемо порядок тестування за критерієм Дарбіна-Уотсона.

1. На першому етапі розраховується значення d -статистики за формулою (1):

_n

_ ^(e _t

e _{t 1} )

2

t 2

d

_n

_ ^e 2

t

(1)

t 1

У теорії доведено, що значення d -статистики Дарбіна-Уотсона

_{знаходяться в межах від 0 до 4.}

_{2. Задаємо рівень значимості та підраховуємо кількість факторів}

^{(k )} _у

_{досліджуваній моделі. Припустимо} k

p _{. За таблицею Дарбіна - Уотсона при}

_{заданому рівні значимості , кількості факторів} k

p _{та кількості}

_{спостережень п, знаходимо два значення} ^d _l

та ^d . Якщо розраховане значення

d -статистики знаходиться в проміжку від 0 до

^d _l ^{(0 d}

^d _l ⁾ , то це свідчить про

_{наявність позитивної автокореляції. Якщо значення d потрапляє в зону}

^{невизначеності, тобто набуває значення d} _l

^{d d} , або ^{4 d}

^{d 4 d} _l ^{, то ми}

_{не можемо зробити висновки ні про наявність, ні про відсутність автокореляції.}

Якщо

^{4 d} _l

^{d 4} , то маємо негативну автокореляцію. Нарешті, якщо

d d 4

^d _{, то автокореляції немає.}

_{Приклад. Припустимо, для певної простої регресійної моделі, яка має}

один фактор ^(k

¹⁾ , кількість спостережень дорівнює ⁿ

²⁰ та розраховане

134

значення d -статистики дорівнює 0,34. Приймемо, що рівень значимості, тобто ризик відкинути правильну гіпотезу, дорівнює 5%. За таблицею Дарбіна-

Уотсона при ^k

¹ та ⁿ

^{20 знаходимо d}_l

^{1,20; d} _u

1,41. Відповідно

відкидаємо гіпотезу про відсутність автокореляції та приймаємо гіпотезу про наявність позитивної автокореляції.

_{Оцінка параметрів регресійної моделі при наявності автокореляції}

_{Розглянемо просту лінійну регресійну модель:}

^y _{t 0}

₁ ^x _t

_t , t

1, n .

(2)

Припустимо, що всі класичні припущення виконуються, крім

_{припущення про незалежність випадкових величин, тобто:}

^{E (} _t

_{t j} ⁾

0, ( j

0).

Припустимо також, що між випадковими величинами є лінійна

_{залежність:}

_{t t 1}

^u _t ^{, 1 1,}

(3)

_{де — коефіцієнт автокореляції;} ^u_t

2

— випадкова величина, для якої

_{використовуються всі класичні припущення методу найменших квадратів:}

E(u _t )

t

0; var(u ² )

; cov(u _t , u _{t s} )

0; s 0

(4 )

Модель (4) відома лід назвою авторегресивна модель Маркова першого порядку (АR(1)), або авторегресивна лагова. У такій інтерпретації коефіцієнт автоковаріації називається коефіцієнтом автокореляції першого порядку, або коефіцієнтом автокореляції з лагом 1.

Отже, для того, щоб дослідити вплив автокореляції на оцінку невідомих параметрів, повернемось до моделі (2). Розглянемо для спрощення тільки

оцінку параметра ₁ , яка за методом найменших квадратів знаходиться за формулою 5:

₁₃₅

_n

_ ^{( x} _t

_x ^{)( y} _t ^{y )}

n _{~ ~}

_ ^{x t y} _t

_b ^{t 1}

t 1

₍₅₎

1 _n

_ ^{( x} _t

x ) ²

_{n ~} ²

_ ^{x t}

^{t 1} _{t 1}

Дисперсія параметра ^b₁

при відсутності автокореляції дорівнює:

var( b₁ )

2

_{n ~ 2} ^.

₍₆₎

_ ^{x t}

t 1

За наявності автокореляції, наприклад типу АR(1), дисперсія параметра

^b₁ змінює своє значення (доведення цього факту ми не наводимо);

_{ n ~ ~}

_{n ~ ~ }

_{2 2 }

_{xt xt 1}

_{xt xt 2}

_{~ ~ }

_{var(b )}

² _{ t 1}

² t 1

_....

m 1 ^{xt xn} _.

1 ar(1)

_{n ~} 2

_{n ~} 2 _

_{n ~} 2

_{n ~} 2

_{n ~} 2 _

₍₇₎

_xt

_{xt }

_xt

_xt

_{xt }

t 1 t 1 _ t 1 t 1

t 1 _

_Якщо ⁰ _{, то обидві формули будуть однаковими, але при наявності}

автокореляції дисперсія параметра ^b₁

_{за відсутності автокореляції.}

відрізнятиметься від значення дисперсії