33. Теорема Вейерштрасса для функций нескольких переменных.

^{Если функция z=f(М) непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а)ограничена, т.е. существует такое число R>0, что для всех точек М в этой области выполнено неравенство |f(М)|<R; б) имеет точки в которых принимает наим. m и наиб. М значения; в)принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между m и М.}

^{z=f(x;y) непрерывна в M0(x0;y0), если она определена в точке M0 и некой окрестности D, имеет предел limf(x;y)=f(x0;y0)}

^{Если функция непрерывна на промежутке, то подразумевается, что она непрерывна в каждой точке этого промежутка.}

^{Если f(x) непрерывна на D, То:}

1. ^{она на нем достигает макс и мин и ограничена на нем}

2. ^{и значения на концах не равны, то принимает все промежуточные значения (Больцано-Коши)}

3. ^{f(a) и f(b) разных знаков, то есть точка с, что f(c)=0}

^{Непрерывность функции в интервале и на отрезке}

^{функция y=f(x) называется непрерывной в интервале от a до b (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.}

^{Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и в точке х=а непрерывна справа (limf(x) [x->a+0] = f(a), а в точке х=b непрерывна слева (limf(x) [x->b-0] = f(b).}

34. Частные производные

^{Производная z по х в точке х0 – предел отношения частного приращения функции по х к приращению аргумента (при дельта”x” ->0)}

^{z’x = lim f(x+дел”x”;y) – f(x;y)/дел.”x” (дел.”x” ->0)}

^{z’y = lim f(x;y+дел.”у”) – f(x;y)/ дел.”у” (дел.”x” ->0)}

^{Теорема Шварца (без док.): Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.}

35. Дифференцируемость двух переменных. (Док-во: файл)

^{Пусть Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки М.}

^{Определение: функция Z=f(M) называется дифференцируемой в точке М (х;у), если её полное приращение может быть представлено в виде: DZ=ADx+BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy, где А и В – const, a(Dx;Dy)}

^{b(Dx;Dy) - бесконечно малые функции.}

^{Теорема: Если Z=f(M) дифференцируема в точке М(х;у), то она имеет в этой точке частные производные, причем z’x(x;y)=A, z’y(x;y)=B}

^{Главная часть приращения DZ, линейная относительно Dx и Dy, называется полным дифференциалом. df(x;y)=f’x(x;y)dx + f’y(x;y)dy}

36. Производная по направлению

^{Рассмотрим функцию Z=f(M) в точке М(х;у), функция определена в окрестности этой точки. Единичные вектор l={cosa;cosb}, где a и b - углы между вектором и осями. Для характеристики скорости изменения функции в точке М в направлении вектора l вводится понятие производной по направлению.}

^{Предел отношения DZ/Dl при стремлении Dl к нулю называется производной функции Z в точке М по направлению вектора l. lim (Dl->0) DZ/Dl = dZ/dx*cosa + dZ/dx*cosb = f’x(x;y)cosa + f’y(x;y)cosb. (следует, что производная по направлению является линейной комбинацией частных производных).Частные производные по х и у являются частными случаями производной по направлению.}

^{Если l – орт направления, то: dZ/dl = gradf(x;y)*вектор«l»}