11. Точки разрыва

^{Если в точке х0 требование непрерывности нарушается, то говорят, что функция в точке х0 терпит разрыв/имеет точку разрыва. Требование непрерывности: предел справа существует и конечен, предел слева существует и конечен, они равны между собой и равны значению функции в точке.}

^{Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные пределы функции справа и слева, но не равны между собой}

^{limf(x)=A1 при x->x0-0}

^{limf(x)=A2 при x->x0+0, но A1 не равен А2; если эти пределы равны, то разрыв называется устранимым.}

^{Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.}

12. Вейерштрасс

^{Если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.}

^{Следствие: если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.}

13. Второй замечательный предел.

^{lim(1+1/x)^x=e (x->беск.)}

^{д-во см. скан}

^{следствия см. скан}

14. Производная функции ….

^{Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует)}

^{y’= lim(f[x0+дельта(х)]-f(x0)/дельта(х)}

^{Если предел конечен, то производная конечная, если предел бесконечен, то производная бесконечна.}

^{Рассмотрим функцию y=f(x) на интервале (a;b). Возьмём на этом интервале точку х0 и приращение на оси Ох. Прямая, соединяющая 2 точки (х0;f(x0)) и (x0+Dx;f(x0+Dx))на графике функции называется секущей.}

^{Геометрический смысл производной: производная функции в точке ч0 равна угловому коэффициенту касательный к графику функции в данной точке.}

^{Необходимое условие: если f(x) имеет производную в х0, то она должна быть в ней непрерывна.}

^{Д-во: пусть y=f(x) дифф. в х. Значит, есть предел limDELTAy/DELTAx=f’(x) (DELTAx->0). Отсюда по теореме о связи функции ее предела и б.м.ф. [Если функция имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и б.м.ф. а(х), т.е. если lim(f)=A, то (f)=A+a(x).] имеем DELTAy/DELTAx=f’(x)+a, a->0 при DELTAx->0, DELTAy=f’(x)*DELTAx + a*DELTAx. Переходя к пределу, выходит, что ghb DELTAx->0 lim(DELTAy)=0 – стало быть, у=f(x) непрерывна в точке х.}

15. Вычисление производных

1. (u + v)’=u’ + v’

2. ^{(uv)’= u’v + uv’}

3. ^{(u/v)’= u’v – uv’/v^2}

4. ^{(cu)’ = cu’}

5. ^{y=f(g(x)) => f’(g(x))*g’(x)}

16. Таблица производных (см. Шпору)

17. Производная сложной функции

^{y=f(u) и u=g(x), то y=f(g(x)) – сложная функция, с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.}

^{Теорема: пусть u=g(x) – дифференцируема в точке х0, а функция y=f(u)-дифференцируема в точке u0, где u0=g(x0), тогда y=f(g(x))-дифференцируема в точке х0 и её производная находится по формуле y’(x0)=f’(u0)g’(x0).}

^{Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому}

18. Производные высших порядков

^{Производная n-ого порядка является производной от производной (n-1)-го порядка, т.е y(пор.n)=(у(n-1))’}

^{Вторая производная показывает выпуклости графика функции: вторая пр больше нуля – выпуклый вниз}