42. Свойства первообразных и неопределенного интеграла.

^{Свойства первообразных:}

1.Если функция F(x) - первообразная для функции f(x) на интервале X, то функция f(x) + C, где C - произвольная постоянная, тоже будет первообразной для f(x) на этом интервале. (Док-во: F’(x) = (F(x)+C)’=f(x)).

2.Если функция F(x) - некоторая первообразная для функции f(x) на интервале X=(a,b), то любая другая первообразная F₁(x) может быть представлена в виде F₁(x) = F(x) + C, где C - постоянная на X функция.

3. Для любой первообразной F(x) выполняется равенство dF(x) = f(x) dx. Из этих свойств следует, что если F(x) - некоторая первообразная функции f(x) на интервале X, то всё множество первообразных функции f(x) (т.е. функций, имеющих производную f(x) и дифференциал f(x) dx) на этом интервале описывается выражением F(x) + C, где C - произвольная постоянная.

^{Свойства неопределенного интеграла:}

^{1) Производная от неопределенного интеграла = подынтегральной функции.} (INT(f(x)dx)’ = f(x)

^{2) Дифференциал от неопределённого интеграла = подынтегральному выражению (d(INT(f(x)dx) = f(x)dx)}

^{3) Постоянный множитель м.б. вынесен из под знака интеграла (INT(cf(x)dx)= cINT().}

^{4) Интеграл от алгебраической суммы/разности функций = алгебраической сумме/разности интегралов. Справедливо для любого конечного количества слагаемых.}

^{5. INT(dF(x)) = F(x)+C}

^{6. Инвариантность: если u=f(x): INT(f(x)dx)=F(x)+c => INT(f(u)du) = F(u) + C}

43. Таблица интегралов (см. Шпору)

44. Основные методы вычисления неопределенных интегралов.

^{1.Методом подстановки (заменой переменной) называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.}

^{Теорема: Пусть требуется вычислить интеграл INT(f(x)dx). Сделаем подстановку x=g(t), где g(t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда dx=g’(t)dt и на основе инвариантности интеграла получаем: INT(f(x)dx) = INT(f(g(t))*g’(t)dt)}

^{2. Интегрирования по частям}

^{Теорема: Пусть u=u(x), v=v(x) и они обе имеют непрерывные производные. Тогда d(uv) = udv+vdu, и:}

^{INT(udv) = uv – INT(vdu).}

45. Определенный интеграл и суммы Римана. (Внести формулы в шпору)

^{Пусть y=f(x), определена на отрезке [a;b]:}

^{Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b, причём отрезки не обязательно равные. На каждом отрезке выберем произвольную точку xiÎ[ xi-1;xi], найдём значение функции f в точке xi. Обозначим Dxi растояние между точками xi и xi-1. найдём соответствующее произведение: f(xi)Dxi. Составим сумму этих произведений: (см. шпору, (001)}

^{Сумма такого сида называется интегральной суммой Римана функции y=f(x) на отрезке [a;b].}

^{Определние: если существует конечный предел интегральной суммы при l®0, где l=maxDxi (1<=i<=n), то этот предел называется определённым интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначается: (см. шпору, (002).}

^{Геометрический смысл сумм Римана и интеграла: определенный интеграл и суммы Римана есть не что иное, как приближенное значение площади криволинейной трапеции, ограниченной сбоку прямыми x=a и x=b, сверху – графиком y=f(x)}