19. Классификация б.М.Ф.

^{lim(x->x0)α(x)/β(x)=0, то α(х)-б.м.ф. более высокого порядка малости, чем β(х)}

^{lim(x->x0)α(x)/β(x)=C, то α и β –б.м.ф. одного порядка малости}

^{lim(x->x0)α(x)/β(x)=∞ , то α(х) называется б.м. более низкого порядка малости чем β(х)}

^{lim(x->x0)α(x)/β(x)=1 , то α и β – называется эквивалентными б.м.ф.}

^{lim(x->x0)α(x)/β(x) не существует, то α и β – называется несравнимыми б.м.ф.}

20. Дифференциал.

^{Дифференциалом функции y=f(x) называется главная линейная часть приращения функции т.е. dy= f ’(x)Dx. Если f(x)=x, то dy=dx=(x)’ Dx=Dx.}

^{Геометрический смысл дифференциала: в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение «дельта х».}

^{Приближенное вычисление при помощи дифференциала:}

^{f(x+Dx)=f(x) + f ’(x)Dx+Dx}

^{f(x+Dx)-f(x)»f ’(x)Dx}

^{Во многих задачах приращение функции в данной точке приближенно заменяют дифференциалом функции в этой точке: ∆у≈dy}

^{Абсолютная погрешность при такой замене равна |∆y-dy| и является при ∆х→0 б.м. более высокого порядка чем ∆х.}

21. Дифференцируемость

^{Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.}

^{Функция y=f(x), называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение функции (Dy) может быть представлено: Dy=A*Dx+a(Dx)Dx, где А-число, не зависящее от Dх, а a(Dx) – бесконечно малая функция.}

^{Теорема: для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во: необходимость: пусть функция дифференцируема в точке, тогда её приращение может быть записано как Dy=A*Dx+a(Dx)Dx. Разделим всё на Dx: Dy/Dx =A +a(Dx), переходя к пределу: lim Dy/Dx = lim (A +a(Dx)) = A (при dx->0) По определению в точке х0 имеется конечная производная А. Достаточность: пусть существует конечная производная функции y=f(x) в точке х0: f’(x0) = lim Dy/Dx (Dx->0) = A}

22. Теорема Ферма:

^{Пусть y=f(x), определена на интервале (a;b), в точке х0Î(a;b) функция принимает наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х0 существует производная, то она равна нулю.}

^{Док-во: пусть для определённости функция в точке х0 принимает наибольшее значение, тогда для любого хÎ(a;b), х¹х0, f(x)£f(x0). Таким образом приращение функции равно: Dy=f(x)-f(x0), где х=х0+Dх или Dy=f(х0+Dх)-f(x0). Dy£0, тогда f’(x0) = lim Dy/Dx (Dx->0). Рассмотрим Dх>0: Dy£0, Dx>0, f ’(x0)£0; рассмотрим Dx<0: Dy£0, Dx<0,}

^{f ’(x0)³0. отсюда следует, что f ’(x0)=0.}

^{Замечание: теорема не верна, если рассматривать функцию на отрезке, а не на интервале.}

23.Теорема Ролля:

^{Если функция y=f(x) определена на отрезке [a;b], причём выполнено: 1) функция не прерывна на отрезке, 2) функция дифференцируема в интервале (a;b), 3)f(a)=f(b), тогда найдётся такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), такая, что значение производной в этой точке равно нулю.}

^{Док-во: так как функция непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса функция принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m, т.е. есть такие x1 и x2, принадлежащие интервалу (a;b), для которых f(x1)=M, f(x2)=m, и m£f(x)£M. Тогда возможны два случая: 1) M=m, 2)M>m. В случае 1 функция является const, f ’(x)=0. в случае 2 т.к. f(a)=f(b), то хотя бы одно из значений либо наибольшее, либо наименьшее не принимается на концах отрезка. Тогда есть точка С, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее и наименьшее значения, а т.к. по условию функция дифференцируема в этой точке, то по теореме Ферма f ’(C)=0.}