1. Числовая последовательность ….

^{Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3…n, поставлено в соответствие число x, то множество вещественных чисел, х1,х2,х3….хn, называется числовой последовательностью. Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.}

^{Предел числ.посл-ти: А=limxn, если для любого положительного числа Е существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство |a –A|<E .}

^{Последовательноть имеющая предел называется сходящейся limхn =а.}

^{Теорема: сходящаяся последовательность имеет только один предел (limxn=a, n->беск., Сущ.!).}

^{(Д-во: Рассм. какой нибудь второй предел limxn=b. Т.к. xn->беск., n->беск., то сущ. N1 такой, что для любого n>N1.}

^{Пусть E=b-a/2. Тогда: a-E<xn<a+E, a-(b-a/2)<xn<a+(b-a/2). Если рассм. правую часть (xn<a+(b-a/2)): т.к. xn->b, То сущ. N2 такой, что для любого n>N2. /xn-b/<E => b-E<xn<b+E, b-(b-a/2)<xn<b+(b-a/2), и b+a/2<xn<3b-a/2. При n>N = max {N1;N2} выполняется a+b/2<xn<a+b/2, что неверно).}

2. Монотонные…

^{Последовательность {x} называется возрастающей (неубывающей) если для любого n выполняется неравенство a >a (a >=a ). Аналогично и для убывающей (невозрастающей) послед-ти. Все эти последовательности называются монотонными.}

^{Последовательность называется ограниченной сверху(снизу) если существует число M(m) такое, что любой элемент этой последовательности (xn) удовлетворяет неравенству /хn/<M}

^{Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е существуеют числа m и M такие что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству: m<x <M.}

^{Теорема: монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел, т.е. сходится.}

^{Ограниченность монотонной последовательности является необходимым и достаточным условием сходимости. Следовательно, если монотонная последовательность ограничена то в силу этой теоремы она сходится, следоввательно она ограничена (по теореме).}

^{Число е называют неперовым числом. Число е иррациональное, его приближенное значение равно 2,72. Число е принято за основание натуральных логарифмов.}

3. Функцией

^{есть процесс отображения, т.е. ситуация, когда каждому элементу х множества Х сопоставляется один элемент у множества У. Переменная у называют зависимой переменной, а переменную х – независимой (или аргументом), множество Х –областью определения функции, а множество У –множество значений функции.}

^{Способы задания функций:}

^{1)аналитический-зависимость между переменными величинами определяется с помощью формулы, указывающей, какие действия нужно выполнять, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента}

^{2) описательный (sign= +1, x>0; -1; x<0)}

^{3)графический}

^{Элементарные - которую можно задать одной формулой, содержащей конечное число ариф.действий. Непрерывна в кажд.точке.}

^{Свойства: 1) Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется чётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=f(x). Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется нечётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=-f(x).}

^{2) x1<x2 => f(x1)<f(x2), то функция называется возрастающей на}

^{x1<x2 => f(x1)£f(x2), то функция называется неубывающей}

^{x1<x2 => f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей}

^{x1<x2 => f(x1)³f(x2), то функция называется невозрастающей}

^{для случаев 1,2,3,4 функцию называют монотонной, для 1,3-строго монотонной.}

^{ЛЮБАЯ СТРОГО МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ ИМЕЕТ ОБРАТНУЮ!}

^{3)Функцию определенную на множестве D, называют ограниченной на этом множестве, если сущ. такое число М>0, что для всех х(прин.)D выполняется неравенство |f(x)|<M Тогда график такой функции лежит между прямыми у=-М и у=М.}

^{Пусть Х и У – некоторые множества и пусть задана функция f , т.е. множества пар чисел (х; у). Если в каждой паре этого множества числа х и у поменять местами, то получим множество пар чисел (у;х), которое называется обратной функцией к функции f.}

^{Если на некотором промежутке Х определена функция z=φ(x) с множеством значений Z, а на множестве Z определена функция у=f(z), то функция у=f[φ(x)] называется сложной функцией от х, а переменная z – промежуточной переменной сложной функции.}