7. Свойства пределов

^{Предел функции единственен при x->x0.}

Пусть lim f(x) = А и lim g(х) = В. По теореме 17.7 имеем:

0 = lim (fх) - f(х)) = lim f(х) - lim fх) = А - В., откуда А=В.

^{Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов;}

Пусть lim fix) = A, lim gx) = В. Тогда по теореме 17.5 о связи

функции, ее предела и б.м.ф. можно записать f(х) = А + а(х) и g (х) = В + b(х). Следовательно, f(x) + g(x) = А + В + (а(х) + b(х)). Здесь а(х) + b(х) — б.м.ф. как сумма б.м.ф. По теореме 17.6 о связи функции, ее предела и б.м.ф. можно записать lim (f(х) + g(х)) = А + В, т. е.

lim (f(х) + g{х)) = lim f(х) + lim g(х). (Везде: x->x0)

В случае разности функций доказательство аналогично.

^{4) Предел произведения двух функций равен произведению их пределов (х->х0)}

^{Следствие:1.постоянный множитель можно выносить за знак предела.}

^{2.предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела.}

^{5)Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю.}

8. Предельный переход в неравенстве (д-во

^{Теорема. Если limxn=a (n->беск.), limуn=b (n->беск.), и начиная с некоторого номера n xn<=yn, то а<=b.}

^{Д-во: Допустим, что a>b. Из равенств пределов последовательностей limxn=a и limуn=b следует, что для любого E>0 найдется такое натурольное число N(E), что при всех n>N(E) будут выполняться неравенства |xn-a|<E и |yn-b|<E, иначе, a-E<xn<a+E, b-E<yn<b+E. Примем E=(a+b)/2 – тогда Xn>a-E = a – ((a-b)/2)=(a+b)/2, xn>(a+b)/2, yn<(a+b)/2, стало быть, Xn>Yn, что противоречит Xn<=Yn. Стало быть, a<=b.}

9. Первый замечательный предел

^{lim(sinx/x)=1 x->0 (см. скан)}

10. Непрерывность

^{Непрерывность функции в точке}

^{Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел в этой точке и он равен значению функции в этой точке.}

^{limf(x)=f(x0) x->x0}

^{Если функция непрерывна на промежутке, то подразумевается, что она непрерывна в каждой точке этого промежутка.}

^{Свойства}

^{Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности х0 и непрерывны в точке х0, тогда 1. функции f+g, f*g, непрерывны в точке х0, а функция f/g непрерывна, если g(x0)¹0.}

^{2. Функция g(f(x)) непрерывна в точке х0 (суперпозиция)}

^{3. элементарные функции непрерывны во всех точках своей области определения, в окрестностях которых они определены.}

^{Свойства функций, непрерывных на отрезке:}

^{Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], То:}

1. ^{она на нем достигает макс и мин и ограничена на нем}

2. ^{и значения на концах не равны, то принимает все промежуточные значения (Больцано-Коши)}

3. ^{f(a) и f(b) разных знаков, то есть точка с, что f(c)=0}

^{Непрерывность функции в интервале и на отрезке}

^{функция y=f(x) называется непрерывной в интервале от a до b (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.}

^{Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и в точке х=а непрерывна справа (limf(x) [x->a+0] = f(a), а в точке х=b непрерывна слева (limf(x) [x->b-0] = f(b).}

^{Свойства}

^{Функция f(x) называется ограниченной на отрезке [a;b], если существует такое c=const, c>0, что модуль функции |f(x)|£c для всех xÎ[a;b], в противном случае функция называется неограниченной на отрезке.}

^{Теорема: всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на отрезке [a;b]}

^{Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.}

^{Теорема: если функция непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, значение функции в которой равно 0.}