Раздел 1.Теория вероятностей

1.Случайные события и вероятности

1.1.1.Предмет теории вероятностей.

Теория вероятностей — раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними. Опыт-это явление, происходящее при условиях, созданных человеком и которое может повторяться большое кол. раз. Результатом опыта наз. случайным событием.

Виды случайных событий

1.достоверные Е(событие, кот. в усл. данного опыта обязательно происходит)

2.невозможное U(никогда не происходят в усл. данного опыта)

3.несовместные(если в усл данного опыта не происх. одновременно)

4.совместные(в условиях данного опыта м. появиться одновременно)

5.В благопрепятствует А,если из факта появленияВ вытекает факт появления А.

6.А и Ас чертой,к каждому событию А мож. сопоставить противопол. события, т.е такое событие, кот дополн А)

1.1.2. Вероятность события — это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений.

n-опыт ,m,a-число опытов,при кот.события происх.

M(A)/n=ω(A)-частота проведения опытов

Классическое и статистическое определение вероятности

–теорема Бернулли или статистическая вероятность события А

Классическая формула вероятности.

Обознач набором элементов исх.опыта.-наз. Множество событий{ }i=1

1.в результате опыта обязат. Происх одно из данных событий

2.события попарно несовместны

3.статистич вероятность всех событий равны. )=p( =…=p( )

Геометрическая вероятность

Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры А к мере U пространства элементарных событий. Под мерой понимается

-в одномерном пространстве - длина

-в двумерном пространстве - площадь

-в трехмерном пространстве - объем

Таким образом, геометрическая вероятность означает, что :

1.1.3 Действия над событиями

1. Если при всяком испытании, при котором происходит событие А, происходит и событие B, то событие А называется частным случаем события B.   А М B  или  B Й A

2. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через

АB

3. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через

А + B

4. Событие, состоящее в том, что событие А не происходит, называется противоположным событию А и обозначает- ся через .  5. Событие (А и ), состоящее в том, что A происходит, а B не происходит, называется разностью событий А и B и обозначается через

А - B

Теорема сложения вероятностей произвольных событий

Вероятность суммы двух произвольных событий равна разности суммы и произведения вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB).

Следствие. Вероятность суммы произвольных событий никогда не превосходит суммы вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ +...+ A_n) ≤ P(A₁) + P(A₂) +...+P(A_n).

Теорема сложения несовместных событий. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B).

Следствие. Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A₁ + A₂ +...+ A_n) = P(A₁) + P(A₂) +...+P(A_n).

Условные вероятности и независимые события

Вероятность события А при условии, что произошло событие В, называется условной> вероятностью события А и обозначается как

P(A|B) = PB(A).

Если при вычислении вероятности Р(А) никаких ограничений, кроме условий Ψ не налагается, то такие вероятности называются безусловными. Строго говоря, безусловные вероятности также являются условными, поскольку исходным моментом их определения было предположение о существовании некоторого неизменного комплекса условий Ψ.

Определение 2. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или непоявления другого, т.е.

и .

В противном случае события называются зависимыми.

Теорема умножения вероятностей произвольных событий.

Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т.е.

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).

Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо равенство

P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).

Теорема умножения произвольных событий допускает обобщение на случай нескольких событий.

Теорема умножения независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

P(AB) = P(A)P(B).

Теорема умножения независимых в совокупности событий. Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:

P(A1 x A2 x...x An) = P(A1) x P(A2) x...x P(An).