4. Пределы.

^{Число А называется пределом функции в точке х0 (x->x0), если для любого числа E>0 существует число б>0 такое что для всех х≠х0, удовлетворяющих неравенству |х-х0|<б, выполняется неравенство |f(x)-A|<Е. (limf(x)=A При x->x0)}

^{Конечный предел – предел, выраженныый неким числом (А). Равный бесконечности – бесконечный, т.е. предела нет.}

^{3Число А называется пределом функции f(x) при х→∞, если для любой б.б.последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к А.}

^{4Число А называется пределом функции f(x) при х→+∞ (х→-∞) если для любой б.б. последовательности значений аргумента, элемента хn которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сход. к А.}

^{5Число А называется пределом функции f(x) при х→+∞, если для любого числа Е>0 существует число δ такое, что для всех хϵХ, удовлетворяющих неравенству x>б, выполняется неравенство |f(x)-A|<Е.}

^{А1 – предел y=f(x) слева в точке х0, если для любого Е>0 есть б=б(Е)>0, такое, что при х(прин.)(х0-б;х0) выполняется неравенство /f(x)-A1/<T (limf(x)=A1 при x->x0-0)}

^{А2 – предел y=f(x) справа в точке х0, если для любого Е>0 есть б=б(Е)>0, такое, что при х(прин.)(х0;х0+б) выполняется неравенство /f(x)-A1/<T (limf(x)=A2 при x->x0+0)}

^{Очевидно, что если есть limf(x)=A, то есть и оба односторнних предела.}

^{5. Б.м.ф.}

^{Функция называется б.м. функцией в точке х=х0 (или при х→х0), если lim f(x)=0.}

^{Свойства: 1)Алгебраическая сумма конечного числа б.м. функции есть б.м. функция.}

^{Д-во: Пусть a(x) и b(x) – две б.м.ф. при x->x0. Это значит, что lima(x)=0 (x->x0), т.е. для любого E>0, а, стало быть, и E/2>0 найдется число б1 такое, что для всех х, удовлетворяющих 0<|x-x0|<б, выполняется неравенство |a(x)|<E/2 (1), и lim b(x)=0 (x->x0) => для любого E/2>0 есть б2>0 да такое, что для любого х 0<|x-x0|<б2, из чего следует |b(x)|<E/2 (2). Пускай б – наименьшее из б1 и б2. Тогда для всех х, удовлетворяющих 0<|x-x0|<б, выпоняются равенства (1) и (2). Значит, имеет место соотношение |a(x)+b(x)|<=|a(x)+|b(x)|<E/2+E/2=E, и |a(x)+b(x)|<E, что означает: lim (a(x)+b(x))=0 (x->x0), a(x) и b(x) – б.м.ф. при x->x0.}

^{2) Произведение ограниченной функции на б.м. функцию есть б.м. функция.}

^{Д-во: Пусть f(x) ограничена при x->x0. Тогда существует такое М>0, что |f(x)|<M (1) для всех х из б1-окрестности точки х0. Пусть а(х) – б.м.ф. при x->x0. Стало быть для любого Е>0 и E/M>0 найдется аткое б2>0, что при всех х, удовлетворяющих 0<|x-x0|<б выполняется |a(x)|<E/M (2). Пусть теперь б – наименьшее из б1 и б2. Тогда для всех х удовлетворяющих 0<|x-x0|<б выполняются (1) и (2). Значит, |f(x)|*|a(x)|<E/M*M=E, что говорит: f(x)a(x) при x->x0 есть б.м.ф.}

^{3) (следствие 2)Т.к. всякая б.м. функция ограничена, то из 2 вытекает произведение двух б.м. функций есть функция б.м.}

^{4) (следствие 2) Произведение б.м. функции на число есть б.м.ф.}

^{5) Частное от деления б.м.ф. на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть б.м.ф.}

^{6) Если функция а(х) – б.м., то функция 1/а(х) – б.б. и наоборот.}

^{Теорема: Если функция имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и б.м.ф. а(х), т.е. если lim(f)=A, то (f)=A+a(x). Скажем: если lim(х+5)=7 при х->2, то f(x)=7+х-2}

^{Д-во: Пусть есть limf(x)=A (x->x0) => Для любого E найдется б>0 такое, что для для всех будет выполняться 0<|x-x0|<б => |f(x)-A|=E, или |f(x)-A-0|=E, что значит: f(x)-A имеет нулевой предел, т.е. является б.м.ф., которая может быть обозначена через a(x): f(x)-A=a(x), откуда: f(x)=A+a(x)}

^{6. Б.б.ф.}

^{Функцией называется бесконечно большой (б.б.) в точке х=х0 (или при х→х0) если для любого Е>0 существует δ>0 такое что для всех хϵХ, х≠х0, удовлетворяет неравенству |x-x0|<δ, выполняется неравенство |f(x)|>Е. lim=∞. Иначе б.б.ф. – функция, кторая при х стрем. к х0 имеет бесконечный предел.}

^{Если же выполняется f(x)>Е (f(x)<-Е), то пишут . limх→х0=+∞ ( limх→х0=-∞)}

^{6) Если функция а(х) – б.м., то функция 1/а(х) – б.б. и наоборот.}