46. Свойства определенного интеграла.

^{1) (Инвариантность) INT[a,b](f(x)dx) = INT[a,b](f(t)dt)}

^{2. INT[a,b](cf(x)dx) = c*INT[a,b](f(x)dx)}

^{3. INT[a,a](f(x)dx) = 0}

^{4. Если f(x)>=0, то INT[a,b](f(x)dx), a<b}

^{5. INT[a,b]((f(x)+g(x))dx) = INT[a,b](f(x)dx) + INT[a,b](g(x)dx)}

^{6. INT[a,b](f(x)dx) = -INT[b,a](f(x)dt)}

^{7. C принадлежит (а,b): INT[a,c](f(x)dx) + INT[c,b](f(x)dx)}

^{8. Теорема о среднем: INT[a,b](f(x)dx) = f(c)(b-a), где c – середина [a,b]}

^{9. Сохранение знака: INT[a,b](f(x)dx) того же знака, что a<b}

^{10. Если f1(x)<=f2(x), то для любого х из [a,b] INT[a,b](f1(x)dx)<= INT[a,b](f2(x)dx)}

^{11. f(x) непрерывна на [a,b]. Стало быть, существует наибольшее и наименьшее значения (m,M).}

^{m(b-a)<= INT[a,b](f(x)dx)<M(b-a)}

^{12. INT[a,b](|f(x)|dx)>=| INT[a,b](f(x)dx)|}

^{13. Теорема Барроу: (INT[a,х](f(t)dt))’x = f(x)}

^{14. INT[-a,a](f(x)dx) = 0. Интеграл по симметричному промежутку равен нулю.}

47. Среднее значение.

^{Теорема о среднем: INT[a,b](f(x)dx) = f(c)(b-a), где c – середина [a,b], при условии, что f(x) непрерывна на [a,b].}

^{Доказательство: По формуле Ньютона-Лейбница имеем:}

^{INT[a,b](f(x)dx) = F(x) [a,b] = F(b)-F(a), где F’(x)=f(x). Применяя к F(b)-F(a) теорему Лагранжа. получим:}

^{F(b)-F(a) = F’(c)(b-a)=f(c)(b-a).}

^{Число f(c) = 1/(b-a) * INT[a,b](f(x)dx) есть среднее значение функции на отрезке (a,b).}

48. Интеграл с верхним пределом

^{Рассмотрим интеграл INT[a,х](f(t)dt) , x принадлежит (a,b). В данном интеграле нижний предел=const, а верхний предел – переменная. Величина этого интеграла является функцией зависящей от верхнего предела х, обозначим её как F(х) и этот интеграл назовём интегралом с переменным верхним пределом.}

^{Теорема Барроу: Производная от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е.. (INT[a,х](f(t)dt))’x = f(x).}

^{Док-во: (INT[a,х](f(t)dt))’x = f(x) = F(t) [a,x] = F(x) – F(a), и (INT[a,х](f(t)dt))’x = (F(x) – F(a))’x = F’(x) – 0 =f(x)}

49. Формула Ньютона-Лейбница

^{Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – какая либо первообразная функции на [a;b], т.е. F’(x)=f(x), то имеет место формула: INT[a,b](f(x)dx) = F(b) – F(a)}

50. Способы вычисления определенного интеграла. (д-во: с. 231-232)

^{1.Формула Ньютона-Лейбница}

^{INT[a,b](f(x)dx) = F(b) – F(a)}

^{2. Интегрирование подстановкой (замена переменной): если x=g(t) и x’=g’(t) непрерывны при t прин. [c,d], МЗФ x=g(t) при t прин. [c,d] является [a,b], g(c)=a и g(d)=b, nj}

^{INT[a,b](f(x)dx) = INT[c,d](f(g(t))*g’(t)dt)}

^{3. Интегрирование по частям: если u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на [a,b], то имеет место формула: INT[a,b](udv) = uv[a,b] - INT[a,b](vdu)}

51 Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования

^{Определение: пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;+¥) интегрируема по любому промежутку внутри этого интервала, т.е. существует INT[a,b](f(x)dx), b>a. Тогда если существует предел lim(INT[a,b](f(x)dx) (b->беск.), то он называется несобственным интегралом первого рода INT[a,+беск.](f(x)dx).}

^{Замечание: если предел существует и конечен, то несобственный интеграл – сходящийся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл – расходящийся.}

^{По аналогии определяется интеграл на промежутке (-¥;b]: INT[-беск.,b](f(x)dx) = lim(INT[a,b](f(x)dx) (a->беск.)}

^{Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой:}

^{lim(INT[a,b](f(x)dx)= (a->беск., b-> беск.) = INT[-беск.,с](f(x)dx) + INT[с,+беск.](f(x)dx), где с – произвольное число.}