28. Выпуклость (Док-во: файл)

^{Определение: график функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вверх, если он расположен ниже любой касательной к графику функции на этом интервале. График функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вниз, если он расположен выше любой касательной к графику функции на этом интервале.}

^{Теорема: если функция f(x) имеет на интервале (a;b) вторую производную и она является положительной во всех точках этого интервала, то тогда график функции является выпуклым вниз на этом интервале (если вторая производная отрицательная, то выпуклость вверх)}

^{Определение: точка х0 называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует (x0-d;x0+d) в пределах которой график функции слева и справа от х0 имеет разные направления выпуклостей.}

^{Необходимое условие точки перегиба: пусть график функции имеет в точке х0 перегиб, и пусть функция имеет непрерывную вторую производную, тогда значение второй производной в этой точке равно нулю.}

^{Достаточное условие точки перегиба: пусть функция имеет вторую производную в (x0-d;x0+d), тогда если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от х0, то график функции имеет перегиб в этой точке.}

^{Д-во: Пусть f’’(x)<0 при x<x0 и f’’(x)>0 при x>x0. Это значит, что слева от x=x0 график выпуклый вверх, а справа – вниз. Стало быть, что х0 – точка перегиба.}

29. Асимптоты

^{При исследовании графика функции на бесконечность, т.е. при x®+¥ и x®-¥, а так же вблизи точек разрыва часто оказывается, что график сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, т.е. асимптоте. Асимптота кривой – прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченной удалении от начала координат этой точки по кривой. Вертикальная, наклонная, горизонтальная.}

^{Прямая х=х0 – вертикальная асимптота графика функции y=f(x), если limf(x)=беск (x->x0)}

^{Прямая y=b – горизонтальная асимптота графика y=f(x), частный случай наклонной.}

^{Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой к графику y=f(x) при х®±¥, если функция y=kx+b, где k=lim(f(x)/x) x-> беск, b=lim(f(x)-kx) x-> беск}

30. Формула Тейлора

^{Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные (n+1) порядка. Тогда для любого х в (x0-d;x0+d) справедливо:}

^{для любого с принадлежащего (х0;х):}

^{f(x) = f(x0) + f’(x0)/1!*(x-x0) + f’’(x0)/2!*(x-x0)^2 + … + f(произв порядка n) (x0)/n!*(x-x0)^n + f (произв порядка n+1) (x0)/(n+1)! (x-x0)^(n+1)}

^{f (произв порядка n+1) (x0)/(n+1)! (x-x0)^(n+1) - многочлен Тейлора, остаточный член в формуле Лагранжа.}

^{При х0=0 – ряд Маклорена.}

31. Разложение в ряд Тейлора: см. Фотофайл (взять из нета)

32. Функции нескольких переменных

^{Предположим, что задано множество D упорядоченных пар чисел. Соответствие функции, которое каждой паре (х;у) из множества D сопоставляет только одно число z, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D, записывается в виде z=f(x;y). При это х и у – независимые переменные, а z-зависимая.}

^{Функцию, где (х у) принадлежит D, можно рассматривать как функцию точки М(х у) координатной плоскости Оху. В частности областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называют границей области. Точки области, не лежащие на границе - внутренние. Область сост.из одних внутр.точек – открытая. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается Ď.}

^{Предел: пусть функция Z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М0, за исключением быть может самой точки М0. Число А называется пределом функции z=f(x;y) при х®х0, у®у0. M(x;y)®M0(x0,y0), если для любого E>0 существует d>0, такое что для всех х¹х0, у¹у0 и удовлетворяет КОРЕНЬ[(x-x0)^2+(y-y0)^2]=б => |f(x,y)-A|<E. limf(x;y)=A (x->x0, y->y0)}

^{Непрерывность: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М0. функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке. lim f(M) = f’(M0) (M->M0). Важно: функция должна быть определена в М0 и некой ее окрестности.}

^{Определение: функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной на всей этой области.}