24. Теорема Лагранжа:

^{Пусть на отрезке [a;b] определена функция y=f(x), она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (a;b), тогда есть такая точка С, принадлежащая (a;b), для которой справедливо: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a). Это означает, что приращение дифференциальной функции на отрезке [a,b] равно приращению аргумента, умноженному на значение производной в некой точке этого отрезка.}

^{Док-во: рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a)/b-a)*(x-a), она удовлетворяет всем трём условиям теоремы Роля:}

^{1) функция непрерывна, как разность двух функций y1=f(x), y2=f(a)+ (f(b)-f(a)/b-a)*(x-a),}

^{2) F(x) дифференцируема на (a;b) F ’(x)=f ’(x)-0-(f(b)-f(a)/b-a),}

^{3) F(a)=0, F(b)=0, F(a)=F(b).}

^{Тогда по теореме Ролля существует такая точка С, что F ’(C)=0. F’(C)=f ’(C)- (f(b)-f(a)/b-a)=0, f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)..}

^{ИНАЧЕ: теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши [Если f(x) и g(x) непрерывны на [a,b] дифференцируемы на интервале (а,b) причем g’(x) не равно 0, для x принадлежащего (a,b) то найдется хотя бы одна точка с прин. (a,b) такая что выполняется неравенство (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c)]. Правда: если положить g(x)=x, то g(b)-a(a)=b-a, g’(x)=1, g’(c)=1. Подставив значения в формулу (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f’(c)/g’(c), выйдет f(b)-f(a)=f’(c)(b-a)}

^{Замечание: равенство f(b)-f(a)=f ’(C)(b-a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.}

^{Геометрически: найдется такая точка С, в которой касательная к графику параллельна секущей АВ.}

^{Следствие: если f’(x)=0 на неком промежутке, то на нем f(x) постоянна.}

25. Правила Лопиталя

^{Будем говорить, что отношение двух функций f(x) g(x) при х®х0 есть неопределённость вида [0/0] если предел каждой из них равен нулю. Раскрыть эту неопределённость значит вычислить этот предел или показать, что он не существует.}

^{Теорема Лопиталя: Пусть функции f(x) g(x) определены и дифференцируемы в окрестностях некоторой точки х0, за исключением может быть самой точки х0. Известно, что оба предела равны нулю, g’(x)¹0. тогда если существует предел limf’(x)/limg’(x) = A, то существует и limf(x)/limg(x) = A и они равны между собой.}

^{Замечание: теорема так же верна в случае когда рассматривается неопределённость типа [¥/¥], только условие lim=lim=∞}

26. Монотонность

^{Функция называется возрастающей(убывающей) на промежутке D, если для любых чисел х1 и х2 из этого промежутка таких что х1<х2, выполняется f(х1)<f(х2).Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке.}

^{Необх.условие: Если дифференцируемая на интервале (а;b) функция возрастает(убывает), то f’(х)>=0 (…) для всех х (а; b).}

^{Дост.условие: Если функция дифференцируема на (а; b) и f’(х)>0 (f’(х)<0) для всех х(а;b), то эта функция возрастает(убывает) на (а;b).}

27. Экстремумы (Док-во: файл)

^{Точка х0 называется точкой максимума функции, если существует такая d-окрестность точки х0, что для всех х≠х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x)<f(x0), и точкой минимума, если f(x)>f(x0).}

^{Значение функции в точке макс(мин) называется максимумом(минимумом) функции. Максимум(минимум) функции называется экстремумом функции.}

^{Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю.}

^{Достаточное условие экстремума: 1. если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-d;x0+d) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с – на + то минимума). 2. Если в точке х0 первая производная функции ф(х) равна нулю, а вторая в точке х0 существует и отлична от 0, то при ф”(х0)<0 в точке х0-функция имеет максимум, при ф”(х0)>0 в точке х0-минимум.}