3.2.6 Расчет пид-регулятора.

Для описания ПИД - регулятора необходимо вывести общий вид передаточной функции. Для этого запишем уравнения для каждого канала отдельно.

Интегральный канал схемы регулятора.

Операционный усилитель У3 в интегральном канале схемы регулятора будем рассматривать как идеальный, т.е. будем считать, что его входное сопротивление и коэффициент усиления стремятся к бесконечности.

Тогда если R_Вх бесконечно велико, то входной ток усилителя будет равен нулю, напряжение U_ОШ(t) на входе усилителя будет полностью гаситься входным сопротивлением. Если усилитель имеет коэффициент усиления, стремящийся к бесконечности, то чтобы на выходе усилителя создать напряжение, ток его на входе должен быть равным нулю.

Таким образом, можем пренебречь входным током и входным напряжением усилителя У3:

где согласно закону Ома

Так как напряжение U_И(t) приложено к конденсатору С₁, то выражение для U_И(t) будет иметь следующий вид:

Продифференцируем это выражение:

В результате получим:

Преобразуем это выражение:

где R8 ∙ С1= Т_и – постоянная времени интегрального канала.

Получаем дифференциальное уравнение, связывающее напряжения на входе и на выходе усилителя У3:

Запишем уравнение в операторном виде:

Перепишем:

где

На этом основании составим передаточную функцию интегрального канала регулятора:

где k_И – коэффициент усиления интегрального канала.

Таким образом, интегральный канал схемы регулятора имеет описание типового интегрирующего звена.

Пропорциональный канал схемы регулятора.

Операционный усилитель У2 в пропорциональном канале схемы регулятора также будем рассматривать как идеальный, т.е. считаем, что его входное сопротивление и коэффициент усиления стремятся к бесконечности.

Стоит учесть, что динамика переходных процессов в операционном усилителе практически не влияет на динамику системы в целом из–за его быстродействия. Также предположим, что усилитель работает на линейном участке его статической характеристики.

Согласно тому, что входное сопротивление R_Вх бесконечно велико, входной ток усилителя будет равен нулю, напряжение на входе усилителя будет полностью гаситься входным сопротивлением. Ток на выходе усилителя также будет равным нулю вследствие того, что усилитель имеет коэффициент усиления стремящийся к бесконечности.

Тогда если пренебречь входным током и входным напряжением усилителя У2, можно записать

где согласно закону Ома

Тогда получаем

Преобразуем:

где k_П – коэффициент усиления пропорционального канала:

,

откуда

На основании этих уравнений составим передаточную функцию пропорционального канала регулятора:

Таким образом, пропорциональный канал схемы регулятора имеет описание типового безынерциального звена.

Дифференциальный канал схемы регулятор.

Операционный усилитель У4 в дифференциальном канале схемы регулятора также рассмотрим как идеальный, т.е. считаем, что его входное сопротивление и коэффициент усиления стремятся к бесконечности.

Предположим, что усилитель работает на линейном участке его статической характеристики, динамика переходных процессов в операционном усилителе практически не влияет на динамику системы в целом из–за его быстродействия.

Согласно тому, что входное сопротивление R_Вх бесконечно велико, входной ток усилителя будет равен нулю, ток на выходе усилителя также будет равным нулю вследствие того, что усилитель имеет коэффициент усиления стремящийся к бесконечности.

Тогда если пренебречь входным током и входным напряжением усилителя У2, можно записать

где согласно закону Ома

Так как напряжение U_И(t) приложено к конденсатору С₁ на входе усилителя, то выражение для i_Вх(t) будет иметь следующий вид:

Запишем уравнение в общем виде:

Преобразуем:

Запишем полученное выражение в операторном виде:

где k_Д – коэффициент усиления дифференциального канала.

На основании этих уравнений составим передаточную функцию дифференциального канала регулятора:

Таким образом, пропорциональный канал схемы регулятора имеет описание идеального дифференцирующего звена.

В итоге мы получили описание всех трех каналов ПИД–регулятора.

Так как каналы регулятора реализованы параллельным соединением, то для того, чтобы найти общее описание ПИД–регулятора, выполним суммирование передаточных функций каналов:

где Т₁, Т₂ – постоянные времени регулятора, равные:

Выражение для ПИД-регулятора будет являться основным при дальнейших вычислениях.