4.4 Реализация настроек регулятора.

Рассчитаем элементы принципиальной схемы блока ПИД-регулятора. Зададим сопротивление R7 и ёмкости С1 и С2.

R7=10кОм, С1=1мкФ, С2=1мкФ.

Найдём R6, R8, R9.

Так как , то получимR6=88,7кОм.

Так как , то получимR9=3,6кОм.

,

отсюда

,

В этой главе была произведена настройка ПИД-регулятора, путём построения логарифмических характеристик, настройки постоянной времени регулятора и расчёта элементов принципиальной схемы блока регулятора.

5 Анализ устойчивости системы.

5.1 Оценка устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица.

При исследовании системы с использованием критерия устойчивости Гурвица, рассматривается характеристический полином замкнутой системы. По Гурвицу для устойчивой системы должны соблюдаться два условия:

1. Коэффициенты характеристического полинома должны быть больше нуля.

2. Должны быть положительны определители, составленные из этих коэффициентов.

Передаточная функция замкнутой системы имеет вид:

Запишем характеристический полином системы:

,

где С₀=0,000000075, С₁=0,000028138, С₂=0,005168368, С₃=1,045195203, С₄=56,2341.

Произведём проверку по критерию Гурвица:

1) С_i>0 – выполняется,

2) ∆₃>0 – так как характеристический полином 4-го порядка (степень знаменателя равна 4), то достаточно проверить 3-й определитель:

,

Определитель получился положительным, следовательно, критерий устойчивости Гурвица подтверждает устойчивость разработанной системы.

5.2 Построение области устойчивости в плоскости параметров Тм и kи.

Исследование проводится методом D – разбиения, изложенным в [3], область устойчивости строится в плоскости двух задаваемых параметров. Для выполнения исследования необходимо найти характеристический комплекс системы. Для этой цели характеристический полином С(р) системы преобразуется таким образом, чтобы в место числовых значений исследуемых параметров в него бы вошли их буквенные обозначения.

Исследуем влияния коэффициента усиления пропорционального канала К_пр и механической постоянной времени двигателя Т_м на устойчивость системы. Для построения области устойчивости необходимо определить границу области устойчивости. Запишем характеристический полином замкнутой системы:

,

где .

Перепишем:

.

Подставив числовые значения и преобразовав, получим:

.

Для использования частотного критерия Михайлова преобразуем характеристический полином в характеристический комплекс, путём замены p на jω:

В этом выражении выделим отдельно реальную и вещественную части и приравняем их к нулю:

Решая систему уравнений относительно T_м и k_и, получим:

Таким образом, мы получили параметрические уравнения колебательной границы устойчивости. Исследуем ход кривой, выявим особые точки и прямые. Характерными точками кривой являются точки разрыва и точки пересечения с осями координат. Приравняем к нулю знаменатель и числитель выражения, стоящего в правой части параметрического уравнения границы области устойчивости.

Приравняем к нулю первое уравнение системы:

.

При решении этого уравнения не получаем действительных корней, следовательно кривая не пересекает ось Т_м.

Приравняем к нулю второе уравнение системы:

.

При решении этого уравнения также не получаем действительных корней, следовательно кривая не пересекает ось k_И.

Существуют также дополнительные границы области устойчивости, которые следуют из дополнительных условий:

1. С₀(Т_м, k_и)=0, (первый коэффициент). Решая относительно Т_м, получим:

Т_м=0;

2. С₄(Т_м, k_и)=0, (последний коэффициент). Решая относительно k_и, получим:

k_и=0.

Зададим ряд значений  в приделах и построим график зависимостии.

Так как частота  входит в параметрические выражения границы области устойчивости в четной степени, то достаточно рассмотреть только область положительных частот , поскольку при отрицательных значениях частоты, будут получаться те же точки, что и при соответствующих положительных значениях частоты.

При ω→0, Т_м→∞. Асимптотами графика являются линии Т_м=0 и k_и=74,419.

Строим границу области устойчивости, график которой показан на рисунке 6.

Определим положение области устойчивости относительно границы согласно правилу штриховки, [5]. Для этого необходимо вычислить определитель:

По правилу штриховки, следует, что если >0, граница штрихуется слева при движении по ней в направлении от к, а если<0, то справа в тех же условиях. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости.

В нашем случае , следовательно может принимать как положительные, так и отрицательные значения. То есть при отрицательных значениях  >0 ,а при положительных  <0.

Так как  входит в параметрические уравнения в четной степени, штриховка дополнительных границ устойчивости производится по смыслу.

Необходимо произвести проверку построения области устойчивости. Для этого на получившемся графике (см. рисунок 6) отметим контрольную точку М_контр , с координатами k_И и Т_М , соответствующими параметрам нашей системы регулирования скорости вала электродвигателя (полученных в П.4). Она попадает в построенную область устойчивости, следовательно, можно в первом приближении полагать, что область устойчивости построена верно.

В этой главе был произведён анализ устойчивости системы по двум критериям: алгебраическому критерию Гурвица и по частотному критерию Михайлова. Результат проверки – система устойчива.