2.4 Построение амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы определение запасов устойчивости по модулю и по фазе

Передаточная функция разомкнутой системы

Для построения АФХ разомкнутой системы найдём вещественную и мнимую части:

Построим АФХ разомкнутой системы при τ =1:

По выведенным амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристикам и найденным настройкам регулятора S0 и S1 получим:

Где: ,

Данные построения АФХ разомкнутой системы представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4.

Re	-111.43	-5.748	-4.369	-3.519	-2.546	-2.241		-0.977
Im	-22.82	-4.236	-3.414	-2.815	-1.997	-1.705		-0.414
ω	0.01	0.05	0.06	0.07	0.09	0.1		0.2

По приведённым данным строим АФХ разомкнутой системы (рис. 21).

М

f

Рисунок 21 – АФХ разомкнутой системы при τ =1

Запас устойчивости по модулю М определяется как расстояние от годографа амплитудно-фазовой характеристики при Im(Wрс(j))=0 до точки с координатами (-1;j0).

М = |-1 - (-0.4)| = 0.6

Запас устойчивости по фазе определяется как угол между отрицательным направлением оси Re и вектором Wрс(j) единичной длины:

f = 21.1’

3.1 Построение переходных процессов при τ = 1

3.1 Построение переходного процесса в замкнутой системе по каналу управления.

Общая формула передаточной функции замкнутой системы:

;

где

;

Где S0 = 0.011 S1= 0.295 (при τ = 1).

Определяем аналитическое выражение для расчета вещественной частотной характеристики замкнутой системы :

В передаточной функции замкнутой системы заменим р на j

Где

Подставляя исходные данные получим:

Подставляя в формулу для ВЧХ по каналу управления оптимальные настройки регулятора S0 = 0.011, S1= 0.295 строим график ВЧХ при наличии запаздывания в канале управления при τ =1.

Для построения переходного процесса воспользуемся методом, который основан на использовании вещественной частотной характеристики замкнутой системы – метод трапеций.

Представим ВЧХ замкнутой системы в виде непрерывной ломаной линии.

Действуя по алгоритму данного метода, заменяем ломаную линию комбинацией трапеций. Вещественная частотная характеристика системы определяется как сумма ординат всех трапеций:

, где

r_i – высота i- номер трапеции.

Переходный процесс в системе находится как сумма переходных процессов для каждой из трапеций:

где ;

На рис. 22 изображены графики ВЧХ замкнутой системы по каналу управления и график на котором кривая линия ВЧХ заменена совокупностью четырёх трапеций.

Данные для построения ВЧХ замкнутой системы по каналу управления представлены в таблице 3.1

Таблица 3.1.

	1	1.286	0.691	-1.104	-0.488	-0.265		-0.167
ω	0	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5		0.6

	-0.11	-0.075	-0.052	-0.037	-0.025	-0.018		-0.01
ω	0.7	0.8	0.9	1.0	1.1	1.2		1.3

Рисунок 22 – Метод трапеций

Для каждой трапеции найдем высоту , частотуи частоту среза.

№ трапеции
1	-0.5	0	0.185
2	2.9	0.185	0.26
3	-0.3	0.4	0.85
4	-1.1	0.26	0.4

Подставляя параметры для каждой трапеции в формулу для h_i(t) находим переходный процесс для i -ой трапеции:

а) Переходный процесс для первой трапеции представлен на рис. 23.

Рисунок 23 – Переходный процесс для первой трапеции

б) Переходный процесс для второй трапеции (рис. 24)

Рисунок 24 – Переходный процесс для второй трапеции

в) Переходный процесс для третьей трапеции (рис. 25)

Рисунок 25 – Переходный процесс для третьей трапеции

г) Переходный процесс для четвёртой трапеции (рис. 26)

Рисунок 26 – Переходный процесс для четвёртой трапеции

д) Построение переходного процесса в системе определяется по формуле:

Данные для построения переходных процессов по всем четырём трапециям приведены в таблице 3.2.

Таблица 3.2

Значение параметров для трапеций
Трапеция 1
t	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150
h1	0	-0.36	-0.45	-0.46	-0.47	-0.47	-0.47	-0.47	-0.49	-0.49	-0.49
Трапеция 2
t	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150
h2	0	3.38	2.69	2.99	2.85	2.91	2.89	2.90	2.90	2.91	2.90
Трапеция 3
t	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150
h3	0	-0.297	-0.299	-0.297	0.299	0.30	0.299	0.30	0.299	0.30	0.299
Трапеция 4
t	0	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150
h4	0	-1.10	-1.12	-1.09	-1.105	-1.104	-1.099	-1.101	-1.102	-1.091	-1.105

Суммарный переходный процесс изображён на рис. 27.

Рисунок 27 – Суммарный переходный процесс по каналу управления