Министерство образования России

Уральская государственная горно-геологическая академия

Кафедра автоматизации и компьютерных технологий

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

По дисциплине: «Теория автоматического управления»

Студент

Группа

Вариант 356

Проверил Барановский В.П.

Екатеринбург

2003

Задание №356

Для автоматической системы, алгоритмическая схема которой приведена на рисунке 1, выполнить следующие расчеты:

1. При заданных параметрах линейной системы :

kо = 0,6	koz =0,3
То = Тоz = 1,6 с	kи = 0,35
Ти = 0,35 с	kу = 20
Ту = 1,2 с	kп = 1,1

оценить точность в установившемся режиме по каналу х_з-ε при типовом воздействии а_о = 7.

При неудовлетворительной точности выбрать значение передаточного коэффициента k_y, обеспечивающее требуемое значение сигнала ошибки ε_з ≤0,5.

2. С помощью критерия Михайлова проверить устойчивость линейной системы при заданных и выбранных параметрах.

3. По требуемым показателям качества в переходном режиме σ = 35%; t_п = 2 с; М = 1,6 определить структуру и параметры корректирующего устройства.

4. Методом D-разбиения построить область устойчивости по параметрам k_и и Т_о (см. табл. 4) для скорректированной системы.

5. На АВМ и ЦВМ получить график переходного процесса по каналу х_з-ε и сравнить полученные показатели качества с требуемыми.

6. Для замкнутой скорректированной системы вычислить квадратичную интегральную оценку по каналу х_з-ε (см. табл. 4) и определить оптимальное значение коэффициента k_y.

7. Дня замкнутой скорректированной системы вычислить суммарную дисперсию сигнала ошибки при случайных воздействиях с параметрами D_Хз =60; α_Хз = 0,1; S_go = 120 и оптимальное значение к_у .

8. Методом фазовых траекторий на АВМ проанализировать возможность возникновения автоколебаний в нескорректированной системе с нелинейным элементом НЭ с параметрами с = 1, b = 1. Определить амплитуду и частоту автоколебаний, оценить влияние параметров нелинейного элемента на амплитуду и частоту автоколебаний.

Дата выдачи задания Подпись руководителя

Содержание

1. Оценка точности в установившемся режиме

В данном разделе необходимо оценить точность заданной системы управления (рисунок 1). Данная система управления является статической, поэтому её статическая точность оценивается при ступенчатом воздействии.

Рисунок 1. – Исходная алгоритмическая схема системы управления

Запишем передаточную функцию замкнутой системы по каналу х_з-ε .

Подставим значения передаточных функций в выражение передаточной функции замкнутой системы:

Запишем теорему Лапласа о конечном значении оригинала для сигнала ошибки:

Подставим значения функции замкнутой системы и сигнал задания :

Вычисляем значение сигнала ошибки ε(t) в установившемся режиме:

ε(∞) ≥ ε_з = 0,5

Точность системы не удовлетворяет заданной точности ε_з , вычисляется новое значение передаточного коэффициента управляющего устройстваk_у, которое позволит обеспечить в системе требуемое значение сигнала ошибки. Запишем выражение для сигнала статической ошибки в общем виде, из которого выразим коэффициентk_у .

Новое значение коэффициента k_упозволяет обеспечить заданную точность системы по каналу х_з-ε.

Вывод: Заданный коэффициент k_У=20 не обеспечивает достаточную точность системы в установившемся режиме, поэтому в данном разделе было вычислено новое значение коэффициентаk_У=56,28, позволяющее обеспечить заданную точность системы по каналу ошибки х_з-ε в установившемся режиме ε(∞)≤ε_з = 0,5 .

2. Проверка устойчивости исходной системы

В данном разделе производится проверка устойчивости системы по критерию Михайлова. Данный критерий основан на анализе характеристического уравнения системы. Исходным выражением для определения устойчивости берем характеристическое уравнение замкнутого контура. Сначала ведется проверка устойчивости с новым, большим передаточным коэффициентом управляющего устройства k_у= 56,28.

1+W_рк(р)=0

Приравняв правую часть характеристического уравнения системы к F(p) получаем характеристический полином системы.

Раскрываем скобки и заменяем р на jω.

Разделим характеристический полином на действительную и мнимую части и подставим все коэффициенты и постоянные времени системы (k_у= 56,28).

Задаваясь численными значениями ω, вычисляем значения мнимой и действительной части характеристического полинома системы. Результаты вычислений приведены в таблице 1. Годограф Михайлова приведен на рисунке 2.

Таблица 1. – Расчетные данные для построения годографа Михайлова

ω	P(ω)	Q(ω)
0	13	0
1	11.65	1.898
2	7.6	2.284
3	0.85	-0.354
3.25	-0.824	-1.3775
3.5	-3.5375	-3.2795
4	-3.2795	-6.5634
∞	-∞	-∞

Рисунок 2. – Годограф Михайлова для системы с новым значением k_у

Формулировка критерия Михайлова

Система n-ого порядка будет устойчивой, если при изменении частоты ω от 0 до ∞ характеристическая криваяF(jω) пройдет в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно, не обращаясь в 0 π/2∙nквадрантов.

Исходя из формулировки критерия и вида получившейся характеристической кривой, можно сделать вывод, что данная система не устойчива, так как кривая, начинаясь в первом квадранте переходит сразу в четвертый, а затем в третий.

Второй раз расчет ведется для исходной системы, с передаточным коэффициентом управляющего устройства k_у=20. В этом случае формулы Р(ω) иQ(ω) преобразуются следующим образом:

В таблице 2 приведены данные для построения годографа Михайлова. Годограф Михайлова приведен на рисунке 3.

Таблица 2. – Расчетные данные для построения годографа Михайлова

ω	P(ω)	Q(ω)
0	4,62	0
1	3.27	1.898
2	-0.78	2.284
3	-7.53	-0.354
3.25	-9.204	-1.378
3.5	-11.917	-3.28
4	-16.98	-7.528
∞	-∞	-∞

Рисунок 3. – Годограф Михайлова для системы с исходным значением k_у

Исходя из формулировки критерия Михайлова и вида получившейся характеристической кривой, можно сделать вывод, что данная система устойчива, так как кривая, начинаясь в первом квадранте переходит последовательно в третий, а затем в четвертый.

Вывод: Проверка устойчивости системы показала, что при исходном k_у=20 система устойчива. При увеличенном жеk_у=56,28 система не устойчива и требует коррекции.

3. Расчет корректирующего устройства

Для построения ЛАЧХ исходной нескорректированной системы вычисляем частоты среза ω_сриlgω_ср а также логарифм передаточного коэффициентаlgk.

ω_ср1 =1/1.6=0.625lgω_ср1 =-0.204

ω_ср2 =1/1.2=0.833lgω_ср2 =-0.079

ω_ср3 =1/0.35=2.857lgω_ср3 =0.456

lgk=lg13 = 1.114 20lgk= 22.27

Рисунок 4. – Логарифмические амплитудно-частотные характеристики разомкнутого контура нескорректированной системы, скорректированной системы и корректирующего устройства

Для построения среднечастотного участка ЛАЧХ желаемой системы по заданным показателям качества (σ = 35%, t_п =2с,M=1.6) вычисляют его параметры.

lgω_ср=0.819

lgω₂=0.39

lgω₃=1.03

По вычисленным параметрам строится среднечастотный участок ЛАЧХ желаемой системы. Так как СЧ-участок ЛАЧХ не доходит до искомой ЛАЧХ продляем его до сопряжения с ней.

Из ЛАЧХ желаемой системы вычитаем ЛАЧХ исходной системы и получаем ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства.

Рисунок 5 – Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика корректирующего устройства

По виду ЛАЧХ выбираем два последовательно соединенных интегро-дифференцирующих звена с преобладанием дифференцирования. Принципиальная схема корректирующего устройства приведена на рисунке 6.

Рисунок 6 – Принципиальная схема корректирующего устройства

Пусть R₁=1МОм ,R₃=1МОм , тогда

T₃=R₁C₁

T₃=R₃C₂

Запишем передаточную функцию скорректированной системы:

=

Заменяем р на jω:

Вычислим значение фазы на частоте среза φ(ω_ср) (значение частоты ω_ср= 6,594).

φ(ω_ср)=

Находим запас устойчивости системы по фазе.

Методом подбора найдем ω_π, при которой φ(ω_π) = 180^о.

При ω_π =10 φ(ω_π)=172,2^о

ω_π =12 φ(ω_π)=183,3^о

ω_π =11,5 φ(ω_π)=180,7^о

Чтобы определить запас устойчивости системы по амплитуде необходимо на ЛАЧХ скорректированной системы отметить частоту ω_π =11,5 и определить на этой частоте запас амплитуды.

Как видно из рисунка 4 запас устойчивости по амплитуде ΔL=7дБ.

Вывод: В разделе 2 было доказано, что нескорректированная система при увеличенном коэффициенте k_у была не устойчива. В данном разделе, введя корректирующее устройство и проанализировав ЛАЧХ уже скорректированной системы можно видеть, что скорректированная система устойчива и имеет запасы устойчивости по амплитуде и фазе:

ΔL=7дБ

4. Построение области устойчивости скорректированной системы

Исходным выражением для построения области устойчивости является характеристическое уравнение замкнутого контура скорректированной системы. Запишем это характеристическое уравнение:

Подставим в формулу выражение для передаточной функции разомкнутого контура.

Заменяем р на jω.

Объединим действительную и мнимую составляющие выражения:

Приравняем к нулю действительную и мнимую части:

Упорядочим систему уравнений относительно параметров k_ркиT_o:

Решим эту систему уравнений методом Крамера.

Подставим значения коэффициентов в выражения k_рк и Т_о .

=

Так как область устойчивости надо строить в плоскости параметров k_ПиT_О, то сделаем переход от коэффициентаk_ркк коэффициентуk_и .

С учетом этого запишем уравнение k_ркотносительно нужного нам параметраk_и .

k_и

Задаваясь значениями частоты ω от 0 до ∞, составляем таблицу 3, получаем данные для построения границы области устойчивости системы в плоскости двух параметров k_ииT_о .

Таблица 3. – Расчетные данные для построения границы области устойчивости системы

ω	kи	To
0	-0,027	-1,186
5	-0,05	-0,024
8	-0,14	-0,41
10	-0,65	-1,33
10,6	-2,92	-5,52
10,8	57,74	59,92
11	2,8	4,58
12	0,56	0,78
14	0,28	0,27
15	0,24	0,2
18	0,21	0,1
20	0,21	0,08
25	0,24	0,04
30	0,29	0,03
40	0,44	0,01
∞	∞	0

Используя данные таблицы 2, построим область устойчивости скорректированной системы в плоскости двух параметров k_ииT_о. Область устойчивости приведена на рисунке 5.

Рисунок 6. - Область устойчивости скорректированной системы в плоскости двух параметров k_ииT_о

Вывод: Как видно из рисунка 6 при коэффициенте k_и=0,35 и постоянной времени Т_о=1.6 система находится в области устойчивой работы, что означает правильность расчета корректирующего устройства. Таким образом, при заданных настройках системы автоматического регулирования, удовлетворяющих требованиям точности, система устойчива.