Решение типовой задачи

Для иллюстрации возможностей корреляционно-регрессионного анализа применительно к данным характеризующим налоговую систему рассмотрим вариацию величины налога на прибыль организаций и числа предприятий в соответствующем субъекте Центрального федерального округа (ЦФО) в 2005 году.

Субъекты ЦФО	Налог на прибыль организаций, млн. рублей	Число предприятий и организаций
Белгородская область	8592,7	25857
Брянская область	1512,9	20209
Владимирская область	1830,2	27868
Воронежская область	3474,4	55317
Ивановская область	1147,7	29121
Калужская область	1673,1	27880
Костромская область	898,8	17274
Курская область	4129,1	25744
Липецкая область	11311,1	21240
Московская область	40504,8	195025
Орловская область	1587,7	15793
Рязанская область	2578,7	31931
Смоленская область	1871,3	23632
Тамбовская область	1336,3	16216
Тверская область	2767,8	48075
Тульская область	4397,1	35768
Ярославская область	6747,5	41111

Источник: Росстат

По имеющимся данным необходимо построить поле корреляции, найти значение коэффициента корреляции Фихнера и оценить параметры парного линейного уравнения регрессии.

Решение:

Поле корреляции также как и аналитическая группировка или сопоставление параллельных рядов является сравнительно простым способом выявления наличия и направления корреляционной взаимосвязи.

Суть его заключается в том, что строится точечная диаграмма, в которой по оси OY откладывают значения зависимой переменной (зависимая переменная обычно обозначается как y), а по оси OX – значения независимой (обозначают как x).

В нашем случае по оси OY отложим переменную «Налог на прибыль организаций», а по оси OX – «Число предприятий и организаций».

Применительно к анализируемым данным получаем следующий график:

Полученный график можно считать не информативным, так как на нем не прослеживается какая-либо зависимость, что объясняется наличием резко выделяющихся из совокупности наблюдений. Такие наблюдения в статистике принято называть «выбросы», в данном случае ими являются г.Москва и Московская область. Как правило подобные наблюдения исключаются из рассмотрения. В результате получаем следующий график зависимости:

Полученный рисунок свидетельствует о наличии положительной (прямой) взаимосвязи между исследуемыми показателями, т.е. чем больше в субъекте предприятий и организаций, тем больше будет пополняться бюджет налоговыми отчислениями.

К показателям степени тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков, который был предложен немецким ученым Г.Фехнером (1801-1887). Этот показатель основан на оценке степени согласованности направлений отклонений ин­дивидуальных значений факторного и результативного призна­ков от соответствующих средних. Для его расчета вычисляют средние значения результативного и факторного признаков, а за­тем проставляют знаки отклонений для всех значений взаимос­вязанных пар признаков.

Если ввести обозначения:

п_а - число совпадений знаков откло­нений индивидуальных величин от средней,

п_в - число несовпа­дений знаков отклонений, то коэффициент Фехнера можно за­писать таким образом:

Коэффициент Фехнера может принимать различные значения в пределах от -1 до +1. Если знаки всех отклонений совпадут, то п_в = 0 и тогда показатель будет равен 1, что свидетельствует о воз­можном наличии прямой связи. Если же знаки всех отклонений бу­дут разными, тогда п_а = 0 и коэффициент Фехнера будет равен -1, что дает основание предположить наличие обратной связи.

Для исчисления данного показателя на первом этапе необходимо рассчитать средние значения по зависимой и не зависимой переменным. Для этого используем формулу средней арифметической простой:

Далее сравниваем индивидуальные значения по каждой переменной со средними значениями, при этом:

• если () то наблюдению присваивается «+»;

• если () то наблюдению присваивается «-»;

• если () то наблюдению присваивается «0».

Относительно исследуемых данных получаем:

Субъекты ЦФО	Налог на прибыль организаций, млн. рублей	Знаки отклонений	Число предприятий и организаций	Знаки отклонений
Белгородская область	8592,7	+	25857	-
Брянская область	1512,9	-	20209	-
Владимирская область	1830,2	-	27868	-
Воронежская область	3474,4	-	55317	+
Ивановская область	1147,7	-	29121	+
Калужская область	1673,1	-	27880	-
Костромская область	898,8	-	17274	-
Курская область	4129,1	+	25744	-
Липецкая область	11311,1	+	21240	-
Орловская область	1587,7	-	15793	-
Рязанская область	2578,7	-	31931	+
Смоленская область	1871,3	-	23632	-
Тамбовская область	1336,3	-	16216	-
Тверская область	2767,8	-	48075	+
Тульская область	4397,1	+	35768	+
Ярославская область	6747,5	+	41111	+
Средняя	3491,03	Х	28939,75	Х

На последнем этапе подсчитываем количество совпадений и не совпадений знаков. Получаем: совпало 7 минусов и 2 плюса итого 9, т.е. n_a=9; не совпадений насчитывается 7, т.е. n_в=7.

В итоге получаем следующее значение коэффициента Фехнера:

Полученный коэффициент корреляции меньше значения 0,3, то можно сделать вывод о том, что связь присутствует но она незначительна. Данный результата получен по причине оставшихся в совокупности резко выделяющихся наблюдений, а именно Липецкой и Белгородской области.

Для улучшения результатов анализа при построении парного линейного уравнения регрессии не будем использовать данные объекты.

Для нахождения параметров парного линейного уравнения регрессии используют метод наименьших квадратов. При этом используют следующие формулы для расчета:

Из приведенных формул следует, что для нахождения а₀ и а₁ необходимо найти значения средних величин: , , ,

Относительно анализируемых данных получаем следующие значения средних:

Субъекты ЦФО	y	x	yx	x2
Брянская область	1512,9	20209	30574196,1	408403681
Владимирская область	1830,2	27868	51004013,6	776625424
Воронежская область	3474,4	55317	192193384,8	3059970489
Ивановская область	1147,7	29121	33422171,7	848032641
Калужская область	1673,1	27880	46646028	777294400
Костромская область	898,8	17274	15525871,2	298391076
Курская область	4129,1	25744	106299550,4	662753536
Орловская область	1587,7	15793	25074546,1	249418849
Рязанская область	2578,7	31931	82340469,7	1019588761
Смоленская область	1871,3	23632	44222561,6	558471424
Тамбовская область	1336,3	16216	21669440,8	262958656
Тверская область	2767,8	48075	133061985	2311205625
Тульская область	4397,1	35768	157275472,8	1279349824
Ярославская область	6747,5	41111	277396472,5	1690114321
Средняя	2568,04	29709,93	86907583,2	1014469908

Используем средние получаем следующие результаты:

Представим результаты расчетов виде регрессионного уравнения:

Параметр при независимой переменной свидетельствует, что при увеличении числа предприятий в субъекте на 1 единицу объем налогов на прибыль предприятия вырастут на 0,081 млн. рублей (или образование 100 новых предприятий гарантирует в среднем увеличение на 81 млн. рублей).