8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функ­ции. Таблица эквивалентности

Эквивалентные бесконечно малые функции.

Если , то бесконечно малые функции и называются эквивалентными, обозначают ~ . Как известно, сумма, разность и произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая. Отношение же двух б.м.ф. может вести себя различным образом: быть конечным числом, быть бесконечно большой функцией, бесконечно малой или вообще не стремиться ни к какому пределу.

Две б.м.ф. сравниваются между собой с помощью их отношения.

Пусть α=α(х) и ß=ß(х) есть б.м.ф. при х→х_о, т. е.

 и

1. Если =А 0 (АєR), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если, =0, то α називатся бесконечно малой более высокого порядка , чем ß.

3. Если =∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если  не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Отметим, что таковы же правила сравнения б.м.ф. при х →±∞, х →х₀±0.

Таблица эквивалентных бесконечно малых. Пусть - бесконечно малая при .

9. Понятие непрерывной функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций

ε-δ определение

Пусть и .

Функция f непрерывна в точке , если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что

Функция f непрерывна на множестве E, если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция f класса C⁰ и пишут: или, подробнее, .

• Из определения следует, что функция непрерывна в каждой изолированной точке своей области определения.

• Определение непрерывности фактически повторяет определение предела функции в данной точке. Другими словами, функция f непрерывна в точке x₀, предельной для множества E, если f имеет предел в точке x₀, и этот предел совпадает со значением функции f(x₀).

• Функция непрерывна в точке, если её колебание в данной точке равно нулю.

Свойства Локальные

• Функция, непрерывная в точке , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция непрерывна в точке и (или ), то (или ) для всех , достаточно близких к .

• Если функции и непрерывны в точке , то функции и тоже непрерывны в точке .

• Если функции и непрерывны в точке и при этом , то функция тоже непрерывна в точке .

• Если функция непрерывна в точке и функция непрерывна в точке , то их композиция непрерывна в точке .

Глобальные

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.

• Функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.

• Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .

• Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .

• Если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .

• Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.

• Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область ее значений является отрезком с концами и .

• Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.