Глава 4 Соответствия

Соответствие – способ задания взаимосвязей, взаимодействий между элементами множества (наряду с отношениями).

4.1 Свойства соответствий

Соответствием между множествами А и В называется подмножество g прямого произведения этих множеств: g А × В.

Область определения соответствия g – это множество пр₁g ={а:(а, b)g }.

Область значений соответствия g – это множество пр₂g = {b:(а, b) g }.

Если пр₁g = А, то соответствие называется всюду определенное, в противном случае - частично определенное.

Если пр₂g = В, то соответствие называется сюръективным .

Образом элемента а в множество В при соответствии g называется множество всех b В, соответствующих элементу а А.

Прообразом элемента b в множество А при соответствии g называется множество всех а А, которым соответствует bВ.

Функциональное соответствие - это соответствие, в котором образом любого элемента а из области определения пр₁g является единственный элемент b из области значений пр₂g.

Взаимноднозначное соответствие - это соответствие:

1) всюду определенное;

2) сюръективное;

3) функциональное;

4) прообразом любого элемента b из области значений пр₂g является единственный элемент а из области определений пр₁g.

Пример:

Пусть g - множество точек прямой линии, удовлетворяющей соотношению х-у=4, при x,y ≥ 0 (см. рис. 4.1).

Каковы свойства соответствия g ?

1) Пусть g R×R, то

-

рис. 4.1

g частично определено, т.к. пр₁g =[4;+ ∞)  R

- не сюръективно, т.к. пр₂С= R+  R, R+ = [0;+ ∞);

- функционально, т.к. имеет единственность места образа для любого xпр₁g ;

- не взаимноднозначно, т.к. соответствие не всюду определено и не сюръективно.

2) Пусть g N×N, то

g – частично определено

g – не сюръективно, функционально и не взаимно однозначно.

3) Пусть g [4;+ ∞)× [0;+ ∞), то g - всюду определено, сюръективно, функционально, взаимно однозначно.

Пример:

Каковы свойства соответствия между множеством N натуральных чисел и множеством М₂n (n N) степеней двойки. Соответствие g всюду определено, т.к. пр₁g =N, сюръективно, т.к. пр₂g = М₂n , функционально, т.к.  n N соответствует единственный образ 2g М₂n и т.к. соответствие характеризуется единственностью прообраза, то значит из всего выше указанного соответствие взаимно однозначно.

Упражнения

1

. Соответствия g₁ - g₄ (рис. 4.2 – 4.5) определены графически. Найти образы и прообразы чисел 1, 2, 3, 4; отрезков[2, 3], [1, 2], [2, 4], [3, 4], [3, 5].

Рис. 4.2

Рис. 4.3

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Определить свойства соответствий, если:

а) g₁ N×N , g₂R₊×R , g₃ R× R₊ , g₄ N×N;

б) g ₁ [2, 6] ×[2, 4], g ₂ [0, 6]×[1, 4], g ₃ [-2, 2]× R₊ , g ₄[2, 6]×[2, 4].

2. Каковы свойства соответствия g между множеством N натуральных чисел и множеством М₂._n натуральных четных чисел?

Глава 5 Функции и отображения

Функцией называется функциональное соответствие.

Если функция f устанавливает соответствие между множествами А и В, то функция имеет тип А → В и обозначается f: А → В.

Отображением А в В называется всюду определенная функция f: А → В.

Отображением А на В называется всюду определенное и при этом сюръективное функциональное соответствие f: А → В.

Отображение типа А → А называется преобразованием множества А.

Функция типа А → А, являющаяся отображением А на А, называется перестановкой на А.

Пример:

Возьмем функцию f(х) = sin x.Пусть тип функции f: R → R, тогда f(х) = sin x всюду определена, т.к. пр₁g = R,но не сюръективна, т.к. пр₂g ≠ R.

Следовательно, функция f является отображением R в R.

Если задать тип функции f: R→ [-1;1], то f будет являться отображением R на R.

Пусть дано соответствие gА×В.

Соответствие Н  В А называется обратным к g (обозначается ­g ^-1),если Н таково ,что (b,а) Н тогда и только тогда, когда (а,b) g.

Функциональное соответствие, обратное к функции f: А→ В называется функцией, обратной к f (обозначается f ^-1).

Пусть даны функции f: A →B и g: В → С.

Функция h: А→ С называется композицией функций f и g (обозначается f·g), если имеет место равенство :

h(x)=g(f(x)), где хА.

Пример:

Чему равна композиция функций:

f(x)= 2^x и g(x)=log₂x.

Каковы области определения функций и их композиций?

Решение:

Пусть f(x)=2^x и g(x)=log₂x имеют тип R → R.

h₁=f·g=g(f(x))=log₂2^x =x.

h₂=g·f=f(g(x))=2^log2х.

пр₁f=R,пр₁g=R₊.

пр₁h₁=R, пр₁h₂=R₊.

Пример:

Пусть f и g имеют тип f: А²→ В; g: В³→ С.

Какой тип имеют функции h₁ и h₂, являющиеся композициями f и g:

h₁=g(x₁, f ( y₁, y₂ ), x₃).

h₂=g (f ( y₁, y₂ ), f( z₁, z₂ ), x₃).

Решение:

Функция h₁ содержит 4 аргумента и ее тип:

h₁: B×A²×B→ C или h₁: B²×A^2.

Функция h₂ содержит 5 аргументов и ее тип:

h₂: A²×A²×B или h₂: A⁴×B.