Упражнения

1. Задать различными способами множество натуральных чисел, кратных 5 и не превышающих 50.

2. Задать различными способами множество М₃ⁿ (nN) всех чисел, являющихся степенями тройки и не превышающих 81: 3, 9, ...81.

3. Определить в явном виде В(U) и его мощность если:

а) U = {1, 2, 3, 4, 5};

б) U = {а, b, с}.

4. Сколько подмножеств имеет множество, состоящее из трех элементов, из четырех?

5. Проиллюстрировать на конкретном примере некоммутативность операции разности множеств А\В ≠ В\А.

6. Пусть U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, А={1, 2, 3}, В={1, 2, 3, 5, 6} , С={4, 5, 6}.

Найти:

а) А\С; б) В\С; в)  В ; г) В  ; д) (С  А)\(С  А);

е) (С)  А; ж) (А\)(B\)

7. Пусть U={а, b, с, d}, X={а, с}, Y={а, b, d}, Z={b, с}.

Найти множества:

а); б); в); г) ;

д) ; е); ж) ; з) .

8. Проиллюстрировать на примере конкретных множеств и с помощью диаграмм Венна справедливость следующих соотношений:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

9.Построить диаграммы Венна, иллюстрирующие множества а) - з) из упражнения 7.

Глава 2 Векторы

2.1 Основные понятия

Вектор V – упорядоченный набор элементов

V=(а₁, а₂, ... а_n),

где а₁, а₂ , ... а_n – компоненты (координаты) вектора.

Число n компонент называется длиной вектора.

Два вектора V₁=(а₁,а₂,...а_n) и V₂= (b₁,b₂,...b_m) равны, если они имеют одинаковую длину и соответствующие координаты их равны, т.е.

(а₁, а₂, ... а_n )=( b₁, b₂, ... b_m ),

если:

1) n=m; 2) а₁=b₁, а₂=b₂, ... , а_n=b_m.

Множество всех возможных (различающихся) векторов (а₁, а₂, ... а_n) длины n и таких, что а₁А₁, а₂А₂, ... а_nА_n называют прямым произведением множеств А₁, А₂, ... А_n. Обозначение прямого произведения:

А₁ × А₂ ×... × А_n

Мощность прямого произведения множеств А₁, А₂, ... А_n равна произведению мощностей этих множеств:

|А₁ × А₂ × ... ×А_n | = | А₁ | ^. |А₂ | ^. .... ^. |А_n |.

Пример:

Пусть X={a, b}, Y={c, d}.

Найти X×Y и определить |X×Y|.

Решение: X×Y={a, b}× {c, d}={(a, c),(a, d),(b, c),(b, d)}.

|X×Y| = |X| ^. |Y| = 2 ^. 2=4.

2.2 Операции над векторами

Проекцией вектора v=(а₁, а₂, ... а_n) i-ую ось называется его i-ая компонента:

пр_i v= а_i.

Проекцией вектора v=(а₁ ,а_­2, ... а_n) на оси с номерами i₁, i₂, ... i_k называется вектор с координатами а_i1,а_­i2,...а_ik :

пр _i1 ,... _ik v = (а_i1, а_i2, ... а_ik).

Пример:

V=(1, 3, 4, 5).

пр₂ v=3; пр₄ v= 5; пр _1,3 v=(1,4); пр _2,3,4v=(3,4,5).

Пусть V ^.– множество векторов длины n: v=( а₁,а₂,...а_n), vV.

Проекцией множества векторов V на i-ую ось называется множество проекций всех векторов из V на i-ую ось:

пр_iV ={пр_i v: v  V}.

Проекцией множества векторов V на оси с номерами i_1,i_2,...i_k называется множество проекций всех векторов vV на оси с номерами i_1,i_2,...i_k :

пр _i1 ,... _ik V={ пр _i1...ik v; vV}.

Пример:

V={(4, 5, 6), (1, 2, 3), (4, 2, 7)}.

пр ₁ V={4, 1}; пр₂ V={5, 2}; пр₃ V={6, 3, 7} ; пр _1,3 ={(4, 6), (1, 3,), (4, 7)}

Пусть V – упорядоченное множество векторов длины n: V=(v₁ v ₂ v _n),

v=( а₁, а₂, ... а_n).

Проекцией упорядоченного множества векторов V на i-ую ось называется упорядоченное множество проекций векторов на эту ось:

пр _i V=( пр _i v₁ , пр _i v₂ , ... пр _i v_n ).

Проекцией упорядоченного множества векторов V на оси с номерами i₁ ,i₂ ... i_k называется упорядоченное множество проекций всех векторов vV на оси с номерами i₁ , i₂ , ... i_k :

пр _i1 ,... _ik V=( пр _i1 ,... _ik v₁ , пр _i1 , ... _ik v₂, ..., пр _i1 ,... _ik v₂).

Пример:

V={(c, b, d), (k, b, d), (c, k, d)}.

Если V – упорядоченное множество, то пр₁V=(c, k, c),

пр _2,3 V={(b,d),(b,d),(k,d)}, пр₃ V= (d,d,d).

Если V - неупорядоченное множество, то пр₁V = (с,k), пр_2,3V={(b,d),(k,d)},

пр₃V=(d).

Пусть V – множество векторов длины n, компонентами которых являются числа.

Вектор а = (а₁, а₂, ... а_n) не менее предпочтителен, чем вектор b=(b₁, b₂ ... b_n) (обозначается а ≥ b) если компоненты вектора а не менее соответствующих компонент вектора b т.е.: а ≥ b, если а₁ ≥ b , а₂ ≥ b₂, ... а_n ≥ b_n.

Пример:

Используя правило сравнения векторов сравнить векторные оценки множества V.

V={(2, 1, 1, 6), (1, 1, 3, 7), (2, 2, 4, 7), (1, 2, 3, 9), (1, 3, 3, 8), (1, 4, 4, 9)}

Решение: (2, 2, 1, 6) ≤ (2, 2, 4, 7).

={(1, 1, 3, 7), (2, 2, 4, 7), (1, 2, 3, 9), (1, 3, 3, 8), (1, 4, 4, 9)}.

(1, 1, 3, 7) ≤ (2, 2, 4, 7).

={(2, 2, 4, 7), (1, 2, 3, 9), (1, 3, 3, 8), (1, 4, 4, 9)}.

(1, 2, 3, 9) ≤ (1, 4, 4, 9).

= {(2, 2, 4, 7), (1, 3, 3, 8), (1, 4, 4, 9)}.

(1, 3, 3, 8) ≤ (1, 4, 4, 9).

= {(2, 2, 4, 7), (1, 4, 4, 9)}.

Оставшиеся две оценки несравнимы по изученному правилу сравнения векторов, поэтому их следует признать лучшими среди векторных оценок исходного списка V.