Упражнения

1. Определить проекции v: пр₁ v пр₃ v пр_1.3 v если:

а) v=(1, 2, 3, 3);

б) v=(а, а, в, с).

2. Определить проекции множества векторов V: пр₁V , пр₃V, пр_1,4 V, пр_2,3V

если:

а) V={(2, 3, 1, 1), (4, 5, 1, 2), (4, 2, 1, 6)};

б) V={(3, 7, 1, 4), (3, 1, 2, 4), (7, 2, 1, 3), (4, 5, 1, 2)};

с) V={(a, a, b, c), (a, a, e, c), (b, c, b, k)}.

Чему равны проекции V на эти оси, если V – упорядоченное множество векторов?

3. Пусть X={k, c}, Y={4, 5}. Найти: X×Y, Y×X, X², X×Y×X.

5. Сравнить векторные оценки множества V, используя правило сравнения векторов:

а)V={(3, 1, 2, 3), (2, 2, 1, 3), (1, 2, 3, 2), (3, 1, 2, 2), (1, 2, 2, 3), (1, 2, 2, 3), (3, 2, 3, 2), (2, 2, 2, 2), (2, 3, 1, 3};

б) V={(7, 3, 4, 2), (7, 8, 3, 1), (6, 2, 2, 1), (7, 4, 3, 2), (6, 4, 1, 1), (7, 7, 2, 1)};

в) V={(9, 8, 3, 2), (8, 9, 1, 1), (7, 7, 1, 2), (9, 9, 2, 1), (6, 7, 1, 1), (9, 9, 2, 2)}.

Глава 3 Отношения

Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.

3.1 Бинарные отношения. Основные понятия

Бинарным отношением R называется подмножество пар (a,b)R прямого произведения M₁ × M₂ , т.е. R  M₁ × M₂. При этом множество M₁ – называется областью определения отношения R, обозначается D(R):

D(R) = {a : (a,b)  R}.

Множество M₂ – называется областью значения отношения R, обозначается Q(R):

Q(R) = {b : (a,b)  R}.

Способы задания бинарных отношений:

1. Списком (перечислением) пар, для которых это отношение выполняется.

2. Матрицей – бинарному отношению R M × M , где M = {a₁, ₂, …a_n} соответствует квадратная матрица порядком n, в которой элемент C_ij , стоящий на пересечении i – ой строки и j – ого столбца равен 1, если между a_i и a_j имеет место отношения R, или 0, если оно отсутствует:

Пример:

Задать списком и матрицей отношение R M × M , где M={1, 2, 3, 4, 5}, eсли R означает “ быть не больше “.

R= {a,b) : a,b  M ; a ≤ b}

R	1	2	3	4	5
1	1	1	1	1	1
2	0	1	1	1	1
3	0	0	1	1	1
4	0	0	0	1	1
5	0	0	0	0	1

R={(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 4), (4, 5), (5, 5)}.

Пример:

Пусть M={1, 2, 3, 4, 5, 6}. Составить матрицу отношения R M × M, если R означает “ иметь общий делитель, отличный от единицы “.

R	1	2	3	4	5	6
1	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	1	0	1
3	0	0	1	0	0	1
4	0	1	0	1	0	1
5	0	0	0	0	1	0
6	0	1	1	1	0	1

R={(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 5), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 6)}.