Упражнения

1. Задать списком и матрицей отношение R  M×M, где M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, если R означает:

а) “ быть строго меньше ”;

б) “ иметь один и тот же остаток от деления на 3 ”;

в) “ отличаться на 2 ”;

г) “ быть не меньше ”.

2. Составить матрицу отношений, заданных на системе множеств В(М),

М = {a,b,c}:

а) R₁ – “ пересекаться с ” (иметь не пустое пересечение).

б) R₂ – “являться строгим включением”.

3. Для отношений, определенных на множестве М={a, b, c, d, e, f, g, h} элементов структуры (рис. 3.3).

Составить матрицы:

а) R₁ – “ быть частью целого ”;

б) R₂ – “ быть непосредственно связанным с ”;

в) R₃ – “ быть начальником”;

г) R₄ – “ быть подчиненным”.

рис. 3.3

4. Пусть отношение R задано на М={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Выписать все элементы R если:

а) R = {(a, b): a, b  M; (a + 1) – делитель};

б) R = {(a, b): a, b  M; a – делитель (a + b), а ≠ 1}.

5. Каковы свойства отношений, заданных:

1). На множестве натуральных чисел N:

а) R₁ – “ быть не меньше ”;

б) R₃ – “ быть равным ”.

2). На множестве точек действительной плоскости R×R:

г) R₄ – “ быть симметричным относительно оси Х ”.

3). На системе множеств В(М):

д) R₅ – “ пересекаться с ” (иметь непустое пересечение).

е) R₆ – “ является строгим включением ”.

4). На множестве людей

ж) “ быть братом ”.

з) “ жить в одном городе ”.

6. Пусть на множестве чисел М={1, 2, 3, 4, 5, 6} определено отношение R – “ иметь общий делитель, отличный от 1 ”.

Задать матрицами отношения R, , R^-1, R⁽²⁾, R⁰, R^*.

7. Пусть отношение R  М × М задано матрицей (см. рис.), М={1, 2, 3, 4}

Определить матрицы отношений R, , R^-1, R⁽²⁾, R⁰, R^*.

R	1	2	3	4			R	1	2	3	4			R	1	2	3	4
1	0	1	0	0			1	1	0	1	0			1	0	1	0	0
2	0	0	0	1			2	0	1	0	1			2	0	1	0	1
3	1	1	0	0			3	0	0	1	0			3	1	1	0	0
4	0	1	0	0			4	0	1	0	1			4	0	1	0	1

8. Пусть отношение R  M × M, М={1, 2, 3, 4, 5} задано матрицей (рис. 3.4, 3.5). Определить матрицы отношений , R^-1, R⁽²⁾, R⁰, R^*.

R	1	2	3	4	5			R	1	2	3	4	5
1	0	0	0	1	0			1	0	0	1	0	0
2	0	1	0	0	1			2	0	0	0	0	0
3	1	0	1	1	0			3	0	0	0	0	1
4	0	1	0	1	0			4	1	0	0	1	0
5	0	0	0	0	1			5	0	1	0	0	1

Рис. 3.4

Рис. 3.5

9. Каковы свойства отношений, заданных матрицами на рисунках (3.5 – 3.8).

R	a	b	c			R	a	b	c			R	a	b	c
a	0	1	0			a	1	0	1			a	1	0	1
b	1	0	1			b	0	0	0			b	0	1	0
c	0	1	0			c	1	0	1			c	1	0	1

Рис. 3.6

Рис. 3.7

Рис. 3.8