Основные эквивалентные соотношения (законы) в булевой алгебре.
Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции:
x
(1)
x1 v (x2 v x3) = (x1 v x2) v x3 = x1 v x2 v x3
Коммутативность конъюнкции и дизъюнкции:
x1 · x2 = x2 · x1 x1 v x2 = x2 v x1 (2)
Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:
x1 ( x2 v x3) = x1 · x2 v x1 · x3 (3)
Дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции:
x1 v (x2 · x3) = (x1 v x2) (x1 v x3) (4)
Идемпотентность:
x · x=x x v x=x (5)
Закон двойного отрицания:
(6)
С
войства
констант 0 и 1:
x
(7)
= 1
x
· 0 = 0 x v
0 = x
= 0
Правила де Моргана:
(8)
Закон противоречия:
(9)
Закон исключения третьего:
Основные эквивалентные соотношения (1 – 10) не выводимы друг из друга.
Наряду с ними для упрощения формул часто используются следующие эквивалентные соотношения, выводимые из основных эквивалентных преобразований:
- Поглощение:
x v x · y =x x(x v y) = x (11)
- Склеивание:
(12)
- Обобщенное склеивание
(13)
(14)
Пример:
Упростить булевы формулы:
а)
Решение:
б)
Упражнения
1. Записать логической формулой следующие умозаключения:
а) Если при выполнении программы отклонение контролируемых параметров превышает контролируемые нормы (стандарты), то требуется оперативная корректировка программы или уточнение стандартов.
б) Если темпы роста рынка продукта корпорации высокие и размер контролируемой его доли рынка также высок, то в соответствии с матрицей портфельного анализа этот продукт относится к категории «звезда»; он дает большой доход, но требует значительных вложений.
2. Представить
префиксные формулы логических функций
3-х переменных f(x1,x2,x3)
в инфиксной форме, если: f1-v;
f2-^ ;
f3 -
; f4 - ¯ ;
а) f1(x3,f3(x1,f2(f4(x1)x2)))
б) f3(f1(x3,x1),f2(x1,f3(x1,f2(x2))))
Вычислить f на наборах: (0,1,1); (1,0,1).
3. Вычислить значения функцией f(x1x2x3) на наборах (0;1;0);(1,1,0)
а) ((x3
x1)^x2)
→ (x1 v
x3)
б) ((x2
→ x3)^x1)↔((x1
v x3)
x2).
4. Подтвердить истинность правил построением таблиц истинности:
а) (А→В)^А→В;
б) ((А→В)^
)→
c)
((А
В)^А→
; д) ((А
В)^
)→
В e)(А→В)→(
→
).
5. Доказать справедливость соотношений:
а) x v (y v z) = (x v y) v z
б)
в) x v x · y = x
г) x · (y v z) = x · y v x · z
6
.
Логические функции трех переменных
f(x1,x2,x3)
представить в виде СДНФ:
а)
б)
в)
7. Найти СДНФ логических функций 3-х переменных f1-f3 заданных таблично:
|
x |
y |
z |
f1 |
f2 |
f3 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
Упростить формулы с помощью эквивалентных преобразований:
а)
б)
в)
