3.2 Свойства бинарных отношений.

Пусть R – отношение на множестве M, R M × M.

Отношение R называется рефлексивным, если а R а для любого а  M, т.е. если каждый элемент а  M находится с самим собой в этом отношении.

Пример:

Следующие отношения рефлексивны:

“ не старше “ на множестве учеников класса;

“ делится на …“ на множестве натуральных чисел;

“ жить в одном городе “ на множестве людей.

Отношение R называется антирефлексивным, если ни для какого а  М не выполняется а R а.

Пример:

Следующие отношения антирефлексивны:

“ быть братом “ на множестве людей;

“ быть старше “ на множестве учеников класса;

“ быть меньше“, “быть больше “ на множестве натуральных чисел.

Отношение R называется симметричным, если а R b влечёт b R a, для любых a, b  M.

Пример:

Следующие отношения симметричны:

“ родственник … “ на множестве людей;

“параллельна … ” на множестве прямых в пространстве;

“перпендикулярна … ” на множестве прямых в плоскости.

Отношение R называется антисимметричным, если a R b и b R a влекут a = b, т.е. ни для каких различающихся элементов a и b (a ≠ b) не выполняется одновременно a R b и b R a.

Пример:

Следующие отношения антисимметричны:

“ быть начальником, быть сыном ” на множестве людей;

“ быть равным ” на множестве натуральных чисел.

Отношение R называется транзитивным, если a R b и b R c влечёт a R c, для  a, b, c  M.

Пример:

Следующие отношения транзитивны:

“ быть моложе ” на множестве людей;

“ быть меньше ” на множестве натуральных чисел.

Пример:

Определить свойства отношений:

1. R₁: “ быть делителем ” на множестве N;

2. R₂: “ находиться на одинаковом расстоянии от начала координат” на множестве точек действительной плоскости.

Решение:

1) R₁ = {(a, b): a – делитель b}.

- рефлексивно, т.к. a R a; Например: (2, 4): 2 R 2.

- не антирефлексивно.

- не симметрично, антисимметрично a R b ≠> b R a

Например: пара (2, 4): 2 R 4 ≠> 4 R 2

- транзитивно, т.к. если b/a  N, и c/b  N, то c/a. Например: 2 R 4  4 R 8 => 2 R 8.

2) R₂ = {((x₁, y₁),(x₂, y₂)): (x₁)² + (y₁)² =(x₂)² + (y₂)²}.

- рефлексивно, т.к. x₁² + y₁² = x₂² + y₂² для  точек (x, y) действительной плоскости R×R

- не антирефлексивно

- симметрично, не антисимметрично, т.к. для точек (2, 3) и (-2, 3) имеется место 2² + 3²= (-2)² + 3², и (2, 3) ≠ (-2, 3).

- транзитивно, т.к. если (x₁y₁) и (x₂y₂) находятся на одинаковом расстоянии от начала координат, а также (x₂y₂) и (x₃y₃), то (x₁y₁) и (x₃y₃) тоже находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

3.3. Отношения эквивалентности и порядка.

- Отношением эквивалентности называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, симметрично, транзитивно.

Пример:

Следующие отношения являются отношениями эквивалентности:

“ жить в одном городе ” на множестве людей;

“ находится на одинаковом расстоянии от начала координат ” на множестве точек действительной плоскости R×R.

Отношением нестрогого порядка называют бинарное отношение на множестве, если оно рефлексивно, антисимметрично, транзитивно.

Антирефлексивное, антисимметричное, транзитивное отношение называется отношением строгого порядка.

Пример:

“ быть не больше ” на множестве натуральных чисел – это отношение нестрогого порядка;

“ быть не старше ” на множестве людей – это отношение нестрогого порядка;

“ быть моложе ”, “ быть прямым потомком ” на множестве людей – отношение строгого порядка.