Совершенная дизъюнктивная нормальная форма

Формулы, содержащие кроме переменных и скобок только знаки функции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания(и, или, не), называются булевыми.

Теорема: Всякая логическая функция может быть представлена булевой формулой, т.е. как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Способ перехода от табличного задания логической функции к булевой формуле: для каждого набора значений переменных x₁,x₂,…,x_n, на котором функция f(x₁,x₂,…,x_n) равна 1, выписываются конъюнкции всех переменных: над теми переменными, которые на этом наборе равны 0, ставятся отрицания; все такие конъюнкции соединяются знаками дизъюнкции.

Полученная таким образом формула называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) логической функции f(x₁,x₂,…,x_n).

Для каждой функции СДНФ единственна.

Пример:

Определить СДНФ операций:

x₁→x₂; x₁ x₂; x₁ | x₂

x1	x2	x1→ x2	x1 x2	x1 | x2
0	0	1	0	1
0	1	1	1	1
1	0	0	1	1
1	1	1	0	0

Совершенная конъюнктивная нормальная форма

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная встречается не более одного раза.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Пример:

Совершенная КНФ (СКНФ) называется КНФ, каждая элементарная дизъюнкция которой содержит все переменные.

Правило получения СКНФ функции по ее таблице истинности:

СКНФ стоится из элементарных дизъюнкций, соответствующих обратным наборам на которых функция равна нулю.

Пример:

Получить СКНФ функций, заданных таблично

x1	x2	f1	f2
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	0

Пример:

Найти СДНФ логических функций f₁-f₃ заданных таблично.

x1	x2	f1	f2	f3
0	0	1	0	0
0	1	0	0	1
1	0	1	0	1
1	1	0	1	0

Решение:

Эквивалентные преобразования.

Эквивалентные преобразования – преобразования использующие эквивалентные соотношения и правило замены.

Правило подстановки формулы F вместо переменной x:

При подстановке формулы F вместо переменной x все вхождения переменной x в исходное соотношение должны быть одновременно заменены формулой F.

Правило замены формул:

Если какая-либо формула F, описывающая функцию f, содержит F_1, в качестве подформулы, то замена F₁ на эквивалентную F₂ (F₁= F₂) не изменит функцию f.