Решение

Если куплено три лотерейных билета, то выиграть из них могут либо все три, либо два, либо один, либо ни одного.

Таким образом, случайная величина X принимает одно из значений: 0; 1; 2; 3  это верхняя строка закона распределения дискретной случайной величины X.

Соответствующие вероятности вычислим по формуле Бернулли.

п = 3  число испытаний, т.е. число купленных лотерейных билетов; Событие А  купленный билет оказался выигрышным;

р = Р(А)= 0,3;

q = 1  р = 0,7;

Контроль:

Получили следующий закон распределения случайной величины Х:

хi	0	1	2	3
pi	0,343	0,441	0,189	0,027

Сравнивая вероятности, записанные в нижней строке ряда распределения, замечаем, что наиболее вероятен один выигрыш, т.к. p₂ = 0,441 и маловероятно, что выиграют все три билета, т.к. p₄ = 0,027.

По найденному ряду распределения вычислим математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Для нахождения дисперсии D(X) найдем математическое ожидание М(Х²) случайной величины Х² :

Задания 111  120. Нормальное распределение Краткие теоретические сведения

Нормальное распределение случайной величины  самый распростра-ненный вид распределения непрерывных случайных величин.

Нормальному закону распределения подчинены случайные ошибки всевозможных измерений, с ним приходится сталкиваться при анализе и прогнозировании различных явлений в технике, экономике, социологии и других областях знаний.

Говорят, что случайная величина X распределена нормально, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

где

а = М(Х) - математическое ожидание, или среднее значение, случайной величины X;

σ² = D(X)  её дисперсия;

σ = σ(х)  среднее квадратическое отклонение.

График функции называется нормальной кривой и имеет вид:

a

a +

a - 



0

Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (α ; β) вычисляется по формуле:

где Ф(х) - функция Лапласа ( см. стр. 34).

Пример

а) Плотность распределения вероятностей случайной величины

имеет вид

Найти математическое ожидание, среднее квадратическое откло-нение случайной величины и вероятность ее попадания в интервал (4; 15).

б) Среднее содержание молока в пакетах составляет 1л, среднее квадратическое отклонение 0,02 л. Считая, что содержание молока в пакете является нормально распределенной случайной величиной,

1) записать плотность распределения вероятностей;

2) определить процент пакетов в партии, содержание молока в которых, отклонено от среднего не более чем на 0,03 л.

Решение

а)  это плотность нормального закона распределения вероятностей при а = 10 и σ = 5, т.е.

а = 10  математическое ожидание,

σ = 5  среднее квадратическое отклонение случайной величины.

Чтобы найти вероятность попадания случайной величины в интервал (4;15), используем формулу:

при а = 10, σ = 5, α = 4, β= 15.

Получим:

Ф(1) = 0,3413 (см. приложение 2);

Ф(-1,2) = - Ф(1,2) = - 0,3849.

Окончательно получим:

Р(4< X < 15) = 0,3413 - (- 0,3849)= 0,7262 ≈ 0,73.

б) Пусть случайная величина X(л)  содержание молока в одном пакете.

М(Х) = 1л  математическое ожидание случайной величины X, равное её среднему значению.

Подставим а = М(Х) = 1 и σ = 0,02 в общий вид плотности нормального закона распределения вероятностей.

Учитывая, что 2σ² = 2ּ0,02² = 0,0008, получим:

 плотность распределения вероятностей случайной величины X.

Отклонение содержания молока в пакете от среднего, т.е. от 1 л, не более чем на 0,03 л означает, что в пакете содержится от 0,97 до 1,03 литров молока.

Найдем Р(0,97< Х<1,03)  вероятность того, что наудачу взятый пакет содержит от 0,97 до 1,03 литра молока. Используем формулу:

при

а = 1, σ = 0,02, α = 0,97, β = 1,03.

Ф(х)  функция Лапласа ( см. приложение 2).

Использовано свойство: Ф(х)= Ф(х).

Получим:

Р(0,97< X < 1,03) = 0,4332  ( 0,4332) = 0,4332 + 0,4332 = 0,8664.

Следовательно, во всей партии доля пакетов, содержащих от 0,97 л до 1,03 л, составляет примерно 0,866, что соответствует 86,6%.