Задания 161  170. Транспортная задача Краткие теоретические сведения

• Постановка транспортной задачи.

Пусть имеется m поставщиков A₁, A₂, …, A_m однородного товара с запасами в количестве а₁, а₂, …, а_m единиц товара соответственно.

С другой стороны имеется n потребителей B₁, В₂, …, В_n этого товара с потребностями b₁, b₂, …, b_n единиц товара соответственно.

Известны стоимости с_ij перевозки единицы товара от поставщика А_i к потребителю B_j (тарифы перевозки), i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

Требуется составить план перевозки товара от поставщиков к потребителям, так, что суммарная стоимость всех перевозок окажется минимальной.

Поставленная задача называется транспортной.

Будем рассматривать так называемую закрытую транспортную задачу, когда объем поставок товара равен объему потребностей, т.е.

• Математическая модель транспортной задачи.

Пусть х_ij единиц товара перевозится от поставщика A_i к потребителю B_j, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

Стоимость этой перевозки равна с_ijх_ij денежных единиц.

Суммарная стоимость всех перевозок:

 целевая функция, которая является линейной функцией от mn переменных x_ij.

Найти минимальное значение функции F при ограничениях:

Первые m уравнений системы ограничений показывают, что суммарный объем товара, вывозимого от каждого поставщика A_i, равен запасу a_i товара этого поставщика.

Вторые n уравнений показывают, что суммарный объем товара, ввозимого каждому потребителю B_j равен потребности b_j в товаре этого потребителя.

Поставленная задача является задачей линейного программирования и, в принципе, может быть решена симплекс-методом, но, ввиду большого числа переменных, это решение громоздко.

• Транспортная задача решается специфическим методом, но, как и при симплекс-методе, её решение складывается из трех этапов:

1. построение первоначального плана задачи;

2. проверка оптимального плана;

3. переход к новому улучшенному опорному плану в случае неоптимальности построенного.

• Условия транспортной задачи и её решение удобно оформлять в виде таблиц. Рамкой выделена часть таблицы, заполняемая в процессе решения.

Потреби- тели Пос- Тавщики	В1	В2	…	Вn	запасы
А1	с11	с12	…	с1n	a1
А2	c21	c22	…	c2n	a2
			…		
Аm	cm1	cm2	…	cmn	am
потребности	b1	b2	…	bn

В нижних правых углах клеток записаны c_ij  тарифы перевозки единицы товара от поставщика A_i к потребителю B_j.

Каждую клетку заполняют количеством x_ij единиц товара, перевозимого от поставщика A_i к потребителю B_j. Если количество перевозимого товара отлично от нуля, то соответствующую клетку будем называть заполненной. Если же количество перевозимого товара равно нулю, то соответствующую клетку будем называть свободной и ставить в ней прочерк.

• Заполненные клетки соответствуют некоторому плану транспортной задачи.

• Невырожденному опорному плану соответствует m + n  1 заполненных клеток.

• Вырожденному опорному плану соответствует менее, чем m + n  1 заполненных клеток.

• Метод северо-западного угла построения первоначального плана заключается в следующем.

Сначала по максимуму заполняется верхняя левая клетка таблицы (северо-западный угол). При этом либо истощаются запасы поставщика A₁ и в остальных клетках первой строки ставят прочерки, либо полностью удовлетворяются потребности потребителя В₁ и в остальных клетках первого столбца ставят прочерки, либо то и другое вместе.

Далее процесс повторяется с северо-западного угла оставшейся части таблицы до полного распределения поставок.

• Проверку оптимальности построения плана проводят при помощи метода потенциалов.

Потенциалами α_i и β_j, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n, называют решение системы линейных уравнений

α_i + β_j = с_ij, где

с_ij  тариф заполненной клетки таблицы, стоящей в пересечении i-й строки и j-го столбца.

Число неизвестных потенциалов равно m + n, а число заполненных клеток опорного плана транспортной задачи меньше, чем m + n, поэтому записанная система уравнений имеет множество решений.

Потенциалы образуют одно из частных решений этой системы.

Для невырожденного опорного плана, когда число занятых клеток равно m + n  1, значение одного из потенциалов выбирают произвольно, тогда значения остальных потенциалов однозначно определяются из записанной системы уравнений. Обычно полагают α₁ = 0, но не обязательно так.

Для вырожденного опорного плана количество потенциалов, значения которых выбирают произвольно, равно разности между m + n и числом занятых клеток.

• После того, как определены значения потенциалов α_i и β_j, для всех свободных клеток вычисляют так называемые косвенные тарифы

= α_i + β_j.

Затем, как и при решении задачи линейного программирования симплекс-методом, для всех клеток таблицы вычисляются оценки

Δ_ij = с_ij.

План транспортной задачи является оптимальным, если для всех клеток таблицы выполняются неравенства

Δ_ij ≤ 0, или, что то же самое,

≤ с_ij, i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n.

Ясно, что для заполненных клеток = с_ij, следовательно, выполнение последнего неравенства достаточно проверять только для свободных клеток.

• При переходе к улучшенному опорному плану в случае неоптимальности построенного, как и при решении задач линейного программирования симплекс-методом, следует одну из базисных переменных перевести в свободные и наоборот.

Другими словами, одну из заполненных клеток таблицы транспортной задачи следует освободить, а одну из свободных клеток, соответственно, заполнить.

• Заполнять следует ту из свободных клеток, которой соответствует наибольшая положительная оценка Δ_ij. Если таких клеток несколько, то заполнять можно любую из них.

При этом должен сохраняться баланс запасов товара по строкам и потребностей в этом товаре по столбцам.

Переход к новому опорному плану происходит по циклу.

• Цикл  это совокупность клеток таблицы, такая, что перемещаясь от любой клетки цикла к другой по строке или по столбцу, за конечное число шагов можно возвратиться в первоначальную клетку.

Клетки цикла могут охватывать все строки и столбцы таблицы или часть из них, причем в каждой такой строке или столбце содержится ровно две клетки цикла. Число вершин цикла всегда четно.

Конфигурация цикла может быть самой разнообразной, например:

• При переходе к новому опорному плану формируется цикл, состоящий из заполненных клеток и одной свободной, которая была выбрана для заполнения.

Все клетки цикла помечаются чередующимися знаками «+» или «», начиная со свободной клетки, помеченной знаком «+».

Из всех клеток, помеченных знаком «», выбирается та, которой соответствует минимальная перевозка товара.

Затем для сохранения баланса содержимое этой клетки вычитается из содержимого всех клеток, помеченных знаком «» и добавляется к содержимому всех клеток, помеченных знаком «+».

Проверка оптимальности каждого построенного опорного плана и построение нового продолжаются до выполнения условия опти- мальности ≤с_ij, т.е. до построения оптимального плана.

Оптимальному плану транспортной задачи соответствует минимальное значение целевой функции.

• При переходе к новому опорному плану возможен переход от невырожденного опорного плана к вырожденному. Это бывает, если одновременно освобождается несколько заполненных клеток. В этом случае рекомендуется одну из этих клеток освободить, а в остальные записать нули. Бывает и обратный переход от вырожденного опорного плана к невырожденному.

• Случается, что для вырожденного неоптимального опорного плана невозможно построить замкнутый цикл, состоящий из заполненных клеток и одной свободной, которая была выбрана для заполнения. В этом случае для замыкания цикла следует в одну из свободных клеток записать ноль. При этом возможно, что именно этот ноль оказывается в клетке, помеченной знаком «». В этом случае в результате пересчета по циклу клетка, в которую был вписан ноль, освобождается, а свободная клетка цикла заполняется нулем, содержимое же остальных клеток цикла не изменяется.

Пример

На трех базах А₁, А₂, А₃ имеется однородный товар в количестве 20, 12, 30 единиц. Потребности магазинов В₁, В₂, В₃, В₄ в этом товаре составляют 14, 25, 15, 8 единиц соответственно.

Стоимости перевозки единицы товара с базы А₁ в магазины В₁, В₂, В₃, В₄ составляют 10, 8, 5, 7 денежных единиц; с базы А₂  6, 9, 3, 1 денежных единиц; с базы А₃  2, 5, 4, 8 денежных единиц соответственно.

Определить план перевозки товара так, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной. Предварительно составить математическую модель задачи.