Решение
1а)
Найти
Найдем предел знаменателя:
Следовательно, предел отношения равен отношению пределов.
1б)
Найти
Найдем предел знаменателя:
т.е.
предел числителя также равен 0.
Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу
ах2 + bx + с = а(х х1)( х х2), где
корни
квадратного уравнения
ах2 + bx + с = 0, D = b2 4ас дискриминант.
Решим уравнение 2х2 х 1 = 0.
D
= (1)2
4ּ2ּ(1)
= 9,
Таким образом,
Решая точно так же, найдем корни уравнения 4х2 5x + 1 = 0.
Получим
Тогда
Разложения числителя и знаменателя на множители имеют общий множитель (х 1), который можно сократить.
Получим
1в)
Найти
При стремлении х к ∞ числитель и знаменатель дроби стремятся к ∞. Для вычисления предела разделим числитель и знаменатель дроби на х2, дробь при этом не изменится.
Получим
т.к.
2)
Найти
Найдем пределы знаменателя и числителя:
т.е. следует раскрыть неопределенность.
Для
раскрытия неопределенности избавимся
в числителе от иррациональности. Для
этого домножим числитель и знаменатель
дроби на выражение
сопряженное числителю.
Используя формулу (а b)(а + b) = а2 b2, получим
Задания 11 20. Непрерывность функции Краткие теоретические сведения
-
левосторонний
предел функции при стремлении
х к
х0 слева; -
правосторонний
предел функции при стремлении
х к
х0 справа. -
Если
то функция f(x)
непрерывна в точке х0. В
противном случае х0
точка разрыва функции f(x).
-
График функции f(x), непрерывной на интервале (а;b), изображается сплошной, т.е. непрерывной, линией на этом интервале.
-
Если f(x) и g(x) непрерывные функции, то
f(x) g(x) и f(x)·g(x) непрерывны,
непрерывная
функция, кроме тех точек х0, в
которых g(x0)
= 0.
Пример
Указать точки разрыва функции f(x), найти левосторонние и правосторонние пределы функции в точках разрыва. Схематически построить график функции.
Решение
Числитель и знаменатель функции f(x) непрерывные линейные функции.
х = 2 единственная точка разрыва функции f(x), т.к. при х = 2 знаменатель обращается в ноль.
Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции f(x) при стремлении х к (2):
причем
х + 2 < 0.
Точно
так же
Для построения графика функции f(x) сделаем следующее преобразование:
График
функции f(x)
совпадает с гиперболой
смещенной по оси OX
на две единицы влево и на одну единицу
вверх.
С(-2;1) центр гиперболы.
Прямые х = -2 и у = 1 являются асимптотами гиперболы.
Чтобы
более точно построить гиперболу
найдем координаты некоторых её точек:
Задания 21 30. Производная и дифференциал функции Краткие теоретические сведения
-
Таблица производных:
-
Производные основных элементарных функций
Производные сложных функций, u = u(x) произвольная функция
с΄= 0, с = const
(xn)΄= nxn-1
(un)΄= nxn-1u΄
(ax)΄= axlna
(au)΄= aulnau΄
(ex)΄= ex
(eu)΄= euu΄
-
Основные правила нахождения производных:
(u ± v)´= u´± v´,
(cu)´= cu´, где с = const,
(uv)´= u´v + uv´,
.
-
dy = f´(x)dx дифференциал функции f(x), где
dx = ∆x дифференциал независимой переменной х.
Пример
Найти производные и дифференциалы указанных функций.
а)
б)
в)
Решение
а)
Используем формулы:
(un)΄=
nxn-1u΄
при
(u v)´= u´ v´,
(cu)´= cu´,
(xn)΄= nxn-1,
с΄= 0.
Тогда
б)
Используем формулы:
(uv)´= u´v + uv´, где u = x3, v = 23x
(xn)΄= nxn-1,
(au)΄= aulnau΄, при а = 2, u = 3x.
Тогда
в)
Используем формулы:
,
,
(сх)´ = c,
(xn)΄= nxn-1.
Тогда
Задания 31 40. Исследование функции с помощью производных и построение графика
Краткие теоретические сведения
План исследования функции с целью построения её графика:
-
найти область определения функции;
-
найти точки пересечения графика функции с осями координат;
-
исследовать функцию на непрерывность, найти левосторонние и правосторонние пределы функции в точках разрыва;
-
найти интервалы возрастания и убывания функции, её экстремумы;
-
найти интервалы выпуклости и вогнутости функции, точки перегиба;
-
при необходимости найти координаты дополнительных точек.
Построить график.
Пример
Исследовать функцию у = (х 1)2(х 4) с помощью производных и построить её график.