Решение

а₁ = 20, а₂ = 12, а₃ = 30  запасы товара на базах А₁, А₂, А₃;

b₁ = 14, b₂ = 25, b₃ = 15, b₄ = 8  потребности в этом товаре магазинов В₁, В₂, В₃, В₄.

следовательно, транспортная задача является закрытой.

 матрица тарифов c_ij перевозки единицы товара с базы A_i в магазин B_j, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

Исходные данные оформим в виде таблицы.

Таблица 1

магазины Bj базы Ai	В1	В2	В3	В4	запасы
А1	10	8	5	7	20
А2	6	9	3	1	12
А3	2	5	4	8	30
потребности	14	25	15	8	∑ = 62

Составим математическую модель задачи.

Пусть x_ij единиц товара перевозится с базы A_i в магазин B_j, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4.

Общая стоимость всех перевозок определяется по матрице тарифов и составляет

F = 10x₁₁ + 8x₁₂ + 5x₁₃ + 7x₁₄ + 6x₂₁ + 9x₂₂ + 3x₂₃ + x₂₄ + 2x₃₁ + 5x₃₂ + 4x₃₃ + 8x₃₄.

F  линейная целевая функция от девяти переменных x_ij. Найти минимум целевой функции F при ограничениях

Первые три уравнения составлены по известным запасам товара, остальные четыре уравнения  по потребностям в товаре.

Составим первоначальный план по методу северо-западного угла.

По максимуму заполним верхнюю левую клетку таблицы 1 числом 14  это меньшее из двух чисел а₁ = 20 и b₁ = 14. При этом потребность в товаре магазина В₁ будет полностью удовлетворена, поэтому в остальных клетках первого столбца поставим прочерки.

На базе А₁ останется 6 единиц товара, зашлем их в магазин В₂, т.е. заполним верхнюю левую клетку оставшейся части таблицы 1. Запасы базы А₁ будут полностью использованы, поэтому в оставшихся клетках первой строки поставим прочерки.

Магазину В₂ требуется 25 единиц товара, из них 6 единиц уже распределены. С базы А₂ в магазин В₂ зашлем все имеющиеся 12 единиц товара, этим заполним верхнюю левую клетку оставшейся части таблицы 1 и в оставшихся клетках второй строки поставим прочерки.

С базы А₃ в магазин В₂ зашлем недостающие 25  (6 + 12) = 7 единиц товара. Оставшиеся 23 единицы товара базы А₃ распределим между магазинами В₃ и В₄ соответственно их потребностям.

Получим следующее распределение поставок:

Таблица 2

Ai Bj	В1	В2	В3	В4	запасы
А1	14 10	6 8	 5	 7	20
А2	 6	12 9	 3	 1	12
А3	 2	7 5	15 4	8 8	30
потребности	14	25	15	8	∑ = 62

Число заполненных клеток таблицы 2 равно m + n  1 = 6 при m = 3 и n = 4, т.е. получен невырожденный опорный план.

Вычислим значение целевой функции для этого плана:

F = 14ּ10 + 6ּ8 + 12ּ9 + 7ּ5 + 15ּ4 + 8ּ8 = 455.

Проверим полученный опорный план на оптимальность при помощи метода потенциалов.

Составим систему уравнений для определения потенциалов α_i и β_j по заполненным клеткам так, что сумма потенциалов равна соответствующему тарифу, т.е. α_i + β_j = с_ij. Получим следующую систему линейных уравнений:

α₁ + β₁ = 10

α₁ + β₂ = 8

α₂ + β₂ = 9

α₃ + β₂ = 5

α₃ + β₃ = 4

α₃ + β₄ = 8.

Чтобы найти одно из частных решений этой системы, положим α₁ = 0. Получим

β₁ = 10, т.к. α₁ + β₁ = 10;

β₂ = 8, т.к. α₁ + β₂ = 8;

α₂ = 1, т.к. α₂ + β₂ = 9;

α₃ = 3, т.к. α₃ + β₂ = 5;

β₃ = 7, т.к. α₃ + β₃ = 4;

β₄ = 11, т.к. α₃ + β₄ = 8.

Потенциалы α_i и β_j можно определить по таблице 2, не записывая систему уравнений. Для этого в левой части таблицы сформируем дополнительный столбец для потенциалов α_i, а вверху таблицы  дополнительную строку для потенциалов β_j.

В дальнейшем прочерки в свободных клетках ставить не будем, чтобы не загромождать таблицу лишними символами.

Таблица 3

	Bj	В1	В2	В3	В4	запасы
Ai	αi βj	β1 = 10	β2 = 8	β3 = 7	β4 = 11
А1	α1 = 0	14 10	6 8	7 5	11 7	20
А2	α2 = 1	11 6	12 9	8 3	12 1	12
А3	α3 = 3	7 2	7 5	15 4	8 8	30
потребности		14	25	15	8	∑ = 62

В верхней клетке сформированного столбца таблицы 3 запишем α₁ = 0. Значения остальных потенциалов определяются по заполненным клеткам таблицы следующим образом.

В первой строке заполнены две клетки, для них α₁ + β₁ = 10; α₁ + β₂ = 8.

При α₁ = 0 получаем β₁ = 10; β₂ = 8. Найденные значения потенциалов β₁ и β₂ запишем в первых двух клетках сформированной строки.

Во второй строке заполнена одна клетка, для неё α₂ + β₂ = 9.

При β₂ = 8 получаем α₂ = 1.

В третьей строке заполнены три клетки, для них α₃ + β₂ = 5; α₃ + β₃ = 4; α₃ + β₄ = 8.

При β₂ = 8 из первого уравнения получаем α₃ =  3; при α₃ =  3 из оставшихся уравнений получаем β₃ = 7; β₄ = 11.

Итак, все потенциалы определены, их значения следует записать в сформированные строку и столбец в соответствующие клетки.

В дальнейшем в строке и столбце таблицы, предназначенных для потенциалов, будем записывать только значения потенциалов 0; 10; 8 и т.д. вместо равенств α₁ = 0; β₁ = 10; β₂ = 8 и т.д.

Проверим построенный план на оптимальность.

Для этого по свободным клеткам вычислим косвенные тарифы = α_i + β_j и поместим их в верхние левые углы соответствующих клеток.

Например:

= α₁ + β₃ = 0 + 7 = 7,

= α₁ + β₄ = 0 + 11 = 11,

= α₂ + β₁ = 1 + 10 = 11 и ­ т.д.

Построенный план не является оптимальным, если хотя бы для одной свободной клетки >с_ij, т.е. косвенный тариф оказался больше заданного тарифа.

Построенный первоначальный план не является оптимальным, т.к. во всех свободных клетках косвенные тарифы больше заданных.

Будем заполнять ту из свободных клеток, у которой косвенный тариф больше заданного тарифа на максимальную величину, т.е. клетку, стоящую в пересечении второй строки и четвертого столбца.

Сформируем цикл, состоящий из заполненных клеток и выбранной свободной, отметим его в таблице 3 ломаной линией. Сформированный цикл состоит из четырех клеток. Следует отметить, что в него не входит клетка, стоящая в пересечении третьей строки и третьего столбца.

Пометим вершины цикла знаками «+» и «» поочередно, начиная с «+» в свободной клетке.

Минимальное содержимое клеток, помеченных знаком «», равно 8.

Из всех клеток, помеченных знаком «», вычтем по 8; во все клетки, помеченные знаком «+», добавим по 8. При этом баланс по строкам и столбцам таблицы 3 будет сохранен, проверьте это самостоятельно.

Получим новый опорный план, который также является невырожденным.

Таблица 4

	Bj	В1	В2	В3	В4	запасы
Ai	αi βj	10	8	7	0
А1	0	14 10	6 8	7 5	0 7	20
А2	1	11 6	4 9	8 3	8 1	12
А3	3	7 2	15 5	15 4	3 8	30
потребности		14	25	15	8	∑ = 62

Вычислим значение целевой функции:

F = 14ּ10 + 6ּ8 + 4ּ9 + 8ּ1 + 15ּ5 + 15ּ4 = 367.

Проверим оптимальность построенного плана.

Положив α₁ = 0, по заполненным клеткам первой строки получим β₁= 10; β₂ = 8.

По заполненным клеткам второго столбца при β₂ = 8 получим α₂= 1, α₃ = 3.

По последней клетке второй строки выделенной части таблицы при α₂ = 1 получим β₄ = 0, и, наконец, при α₃ = 3 получим β₃ = 7.

Заполним строку и столбец таблицы 4, предназначенные для потенциалов, найденными значениями.

Вычислим косвенные тарифы = α_i + β_j для свободных клеток и поместим их в верхние левые углы соответствующих клеток.

В четырех из шести свободных клетках > , т.е. условие оптимальности плана не выполнено.

Для заполнения выберем свободную клетку, стоящую во второй строке и в первом столбце, сформируем цикл для переадресации товара, состоящий из заполненных клеток и выбранной свободной. Пометим вершины цикла знаками «+» и «» поочерёдно, начиная со свободной клетки.

Минимальное содержимое клеток, помеченных знаком «», равно 4. Проведем соответствующий пересчет по циклу и получим следующее распределение поставок:

Таблица 5

	Bj	В1	В2	В3	В4	запасы
Ai	αi βj	10	8	7	5
А1	0	10 10	10 8	7 5	5 7	20
А2	 4	4 6	4 9	3 3	8 1	12
А3	 3	7 2	15 5	15 4	2 8	30
потребности		14	25	15	8	∑ = 62

Вычислим значение целевой функции

F = 10ּ10 + 10ּ8 + 4ּ6 + 8ּ1 + 15ּ5 + 15ּ4 = 347.

Построим систему потенциалов по заполненным клеткам таблицы 5, вычислим косвенные тарифы для свободных клеток, как это было показано раньше.

Цикл, сформированный для переадресации товара, охватывает четыре клетки. Обратите внимание, что в него не входят клетки второй строки.

Переадресуем по циклу минимальное содержимое клеток, помеченных знаком «», т.е. 10.

Получим следующее распределение поставок:

Таблица 6

	Bj	В1	В2	В3	В4	Запасы
Ai	αi βj	5	8	7	0
А1	0	5 10	20 8	7 5	0 7	20
А2	1	4 6	9 9	8 3	8 1	12
А3	 3	10 2	5 5	15 4	3 8	30
потребности		14	25	15	8	∑ = 62

F = 20ּ8 + 4ּ6 + 8ּ1 + 10ּ2 + 5ּ5 + 15ּ4 = 297  значение целевой функции для построенного плана.

Построим систему потенциалов по заполненным клеткам и запишем найденные потенциалы в таблицу.

При α₁ = 0 β₂ = 8  α₁ = 8;

При β₂ = 8 α₃ = 5  β₂ = 5  8 =  3;

При α₃ = 3 β₁ = 2  α₃ = 2  (3) = 5; β₃ = 4  α₃ = 4  (3) = 7;

При β₁ = 5 α₂ = 6  β₁ = 6  5 = 1;

При α₂ = 1 β₄ = 1  α₂ = 1  1 = 0.

Вычислим косвенные тарифы по свободным клеткам и проверим оптимальность плана.

План не является оптимальным, т.к. в двух свободных клетках > .

Сформировав нужный цикл и сделав необходимые пересчеты по этому циклу, получим следующее распределение поставок:

Таблица 7

	Bj	В1	В2	В3	В4	запасы
Ai	αi βj	5	8	7	5
А1	0	5 10	20 8	7 5	5 7	20
А2	 4	1 6	4 9	4 3	8 1	12
А3	 3	14 2	5 5	11 4	2 8	30
потребности		14	25	15	8	∑ = 62

F = 20ּ8 + 4ּ3 + 8ּ1 + 14ּ2 + 5ּ5 + 11ּ4 = 277  значение целевой функции для построенного плана.

Построив систему потенциалов по заполненным клеткам и вычислив косвенные тарифы для свободных клеток, убеждаемся, что вновь построенный план не является оптимальным, т.к. для одной из клеток первой строки > , а именно

Сформировав нужный цикл и сделав необходимый пересчет по этому циклу, получим следующее распределение поставок.

Таблица 8

	Bj	В1	В2	В3	В4	запасы
Ai	αi βj	5	8	5	3
А1	0	5 10	9 8	11 5	3 7	20
А2	 2	3 6	6 9	4 3	8 1	12
А3	 3	14 2	16 5	2 4	0 8	30
потребности		14	25	15	8	∑ = 62

F = 9ּ8 + 11ּ5 + 4ּ3 + 8ּ1 + 14ּ2 + 16ּ5 = 255 значение целевой функции для построенного плана.

Построив систему потенциалов по заполненным клеткам и вычислив косвенные тарифы для свободных клеток, убеждаемся, что построенный план является оптимальным, т.к. во всех клетках косвенные тарифы не превышают заданных.

Обратите внимание, что для каждого последующего опорного плана значение целевой функции уменьшается.

Вывод

Наименьшая суммарная стоимость перевозок товара равна 255 денежных единиц. При этом с базы А₁ следует перевезти 9 и 11 единиц товара в магазины В₂ и В₃ соответственно; с базы А₂ следует перевезти 4 и 8 единиц товара в магазины В₃ и В₄; с базы А₃  14 и 16 единиц товара в магазины В₁ и В₂.

Товар со всех баз будет вывезен полностью, потребности всех магазинов будут удовлетворены.