Задания 91  100. Повторные независимые испытания Краткие теоретические сведения

При вычислении вероятностей часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и то же испытание повторяется многократно, причем в каждом испытании вероятность появления некоторого события А постоянна и равна р.

• Формула Бернулли.

Пусть п - число испытаний;

р = Р(А) - вероятность появления события А в одном испытании;

q = P(A) - вероятность непоявления события А в одном испытании;

q = 1 - р по теореме о вероятности противоположного события.

P_n(k) - обозначение вероятности того, что в п испытаниях событие А появится ровно k раз. P_n(k) вычисляют по формуле Бернулли:

k  может принимать любые значения от нуля до п , т.е.

k = 0, 1, 2,…, n; п! произносится как "эн факториал" и вычисляется следующим образом:

п ! = 1 · 2 · 3 · ... · п , причем 0! = 1;

Например, 1! = 1,

2! = 1·2 = 2,

3!=1·2·3 = 6,

4! = 1·2·3·4 = 24,

5! = 1·2·3·4·5 = 120,

6 ! = 720 (проверьте самостоятельно),

10! = 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10 >3·10⁶,

т.е. n!  громадное число при n ≥ 10.

• Р_п (k₁; k₂) - обозначение вероятности того, что в п испытаниях событие А появится не менее, чем k₁ раз, и не более, чем k₂ раз, т.е. число появлений события А заключено между k₁ и k₂ (k₁ < k₂).

Р_п (k₁ ; k₂) вычисляется по формуле:

∑  символ суммирования, используемый для краткости. В эту сумму входят k₂-k_l+1слагаемых P_n(k), каждое из которых вычисляется по формуле Бернулли.

Вычисление вероятностей по формуле Бернулли при больших п затруднительно, поэтому при п >10 используют приближенные формулы.

• Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k) того, что событие А появится в п испытаниях ровно k раз, при больших п может быть вычислена по формуле:

где

при

Таблица значений функции φ(х) для неотрицательных значений аргумента х приведена в приложении 1.

Для отрицательных значений аргумента х используют свойство:

φ(- х) = φ (х), т.к. φ(х) - четная функция.

• Интегральная теорема Лапласа.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность P_n(k₁; k₂) того, что событие А появится в п испытаниях от k₁ до k₂ раз при больших п может быть вычислена по формуле:

P_n(k₁; k₂) ≈ Ф(х₂)  Ф(х₁), где

 функция Лапласа

при

Таблица значений функции Ф(х) для неотрицательных значений аргумента х приведена в приложении 2.

Для отрицательных значений аргумента х используют свойство:

Ф(- х) =  Ф(х), т.к. Ф(х) - нечетная функция.

Замечание. При достаточно больших значениях аргумента х значения функций φ(х) и Ф(х) стабилизируются. Поэтому полагают

φ(х) = 0 при х ≥ 4,

Ф(х) = 0,5 при х ≥ 5.

Пример

1) Товаровед проверяет изделия на качество. Вероятность того, что изделие окажется высшего качества равна 0,8 . Найти вероятность того, что среди проверенных пяти изделий высшего качества окажется:

а) ровно три;

б) не менее трех изделий.

2) Контрольная работа состоит из шести заданий. Студент может правильно выполнить каждое из заданий с вероятностью 0,7 . Найти вероятность того, что студент:

а) правильно выполнит четыре задания;

б) допустит ошибки не более, чем в двух заданиях.

3. Вероятность приживления саженца при высадке его в грунт равна 0,7. Найти вероятность того, что из 150 высаженных в грунт саженцев:

а) приживется сто саженцев;

б) погибнет от 35 до 50 саженцев;

в) приживется не менее ста саженцев.