Решение

1) Генеральная совокупность X, подлежащая изучению,  это кре­пость всех нитей пряжи "Тюльпан", выпускаемой комбинатом, измеренная в граммах.

В рассматриваемом примере область наблюдаемых значений признака X разбита на k = 6 непересекающихся и равных по длине интервалов.

Вычислим средние значения признака X для каждого i-го интервала как полусумму граничных точек интервала, i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

и т.д.

Результаты вычислений оформим в виде таблицы.

Интервалы по крепости нити, г	ni		wi
170190 190210 210230 230250 250270 270290	5 18 36 27 3 1	180 200 220 240 260 280	0,06 0,20 0,40 0,30 0,03 0,01	10,8 40,0 88,0 72,0 7,8 2,8	-41,4 -21,4 -1,4 18,6 38,4 58,6	1713,96 457,96 1,96 345,96 1489,96 3433,96	102,8376 91,592 0,784 103,788 44,6988 34,3396
Итого:	90		1	221,4			378,04

В первом столбце указаны частичные интервалы из условия задачи.

Во втором столбце - частоты n_i, т.е. число наблюдаемых значений признака X в i-м интервале.

 объем выборки.

В третьем столбце указаны середины частичных интервалов.

Вычислим относительные частоты результаты поместим в четвертый столбец таблицы.

После сложения относительных частот получаем что подтверждает правильность вычислений.

Построим гистограмму относительных частот. Для этого по оси абсцисс отложим интервалы, в которые попадают наблюдаемые значения крепости нити, а затем на этих интервалах как на основаниях построим прямоугольники, высоты которых равны соответствующим относительным частотам w_i.

Суммируя результаты пятого столбца, получим

 средняя выборочная.

Суммируя числа последнего столбца, получим выборочную диспер­сию

Тогда выборочное стандартное отклонение

Коэффициент вариации

Сделаем анализ полученных результатов.

Средняя крепость нитей, полученная по выборке, оказалась равной 221,4г.

Абсолютный и относительный разброс крепости нити около = 221,4 г соответственно равны 19,4 г и 8,8 %.

2) Средняя крепость всех нитей пряжи "Тюльпан", выпускаемых комбинатом,  это генеральная средняя , или, что то же самое, математическое ожида­ние а нормально распределенной генеральной совокупности X.

Доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания а имеет вид

( Δ; + Δ).

Точность Δ интервальной оценки для большой выборки объема n = 90 вычисляется по формуле:

Δ = где

 решение уравнения при = 0,95, где

= 0,95  заданная надежность интервальной оценки.

Тогда

Если Ф(t_γ) = 0,475, то t_γ = 1,96.

t_γ найдено по таблице значений функции Лапласа Ф(х) (см. приложе­ние 2).

Тогда

Δ =

Вычислим границы доверительного интервала:

 Δ = 221,4  4,0 = 217,4;

+ Δ = 221,4 + 4,0 = 225,4.

Доверительный интервал имеет вид (217,4; 225,4 ).

Таким образом, неизвестное математическое ожидание а нормально распределенной генеральной совокупности X попадает в интервал (217,4; 225,4) с надежностью γ = 0,95.

Другими словами с вероятностью 0,95 средняя крепость нити пряжи "Тюльпан" заключена между 217,4 г и 225,4 г.