Задания для контрольных работ Раздел 1. Дифференциальное и интегральное исчисление

01  10. Вычислить указанные пределы.

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11  20. Указать точки разрыва функции f(x). Найти левосторонние и правосторонние пределы функции в точках разрыва. Схематически построить график функции.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21  30. Найти производные и дифференциалы указанных функций.

21. б) y = x­­²e^4x1;

22. б) y = x­­ּ2^3x+1;

23. б) y = x­­³4^3х1;

24. б) y = x­­е^{х² 1};

25. б) y = x­­³5^3х+2;

26. б) y = x­­3^{х² 2};

27. б) y = x­­е^{х³ 2} ;

28. б) y = x²­­3^4х+1;

29. б) y = x²­5^4х;

30. б) y = x­­³2^6х ;

31  40. Исследовать функцию с помощью производных и построить её график.

31. y = (x + 2)²(x  4); 32. y = (x + 3)²(x  6);

33. y = (x + 4)²(x  5); 34. y = (x + 1)²(x  5);

35. y = (x  5)²(x + 1); 36. y = (x + 2)²(x  7);

37. y = (x  2)²(x  5); 38. y = (x  7)²(x + 2);

39. y = (x + 5)²ּ(x  4); 40. y = (x  8)²(x +1).

41  50. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47. б)

48.

49.

50.

51  60. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и двумя кривыми, заданными своими уравнениями. Сделать чертеж.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61  70. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

Раздел 2. Теория вероятностей и математическая статистика

71  80.

71. Кодовый замок состоит из двух одинаковых дисков, каждый из которых разделен на пять секторов, отмеченных цифрами от 1 до 5. Найти вероятность того, что наудачу набранная комбинация указанных цифр откроет замок.

72. Методическое пособие имеет объем в 70 страниц. Найти вероятность того, что порядковый номер наудачу открытой страницы содержит цифру 5.

73. Играя с кубиками, ребенок составляет их в ряд. Найти вероятность того, что из трех кубиков с буквами К, К, О окажется составлено слово КОК.

74. Куб, все грани которого окрашены, разрезан на тысячу одинаковых кубиков. Найти вероятность того, что наудачу взятый кубик не имеет окрашенных граней.

75. В каждой из двух урн находится по десять шаров, пронумерованных от 1 до 10. Наудачу из каждой урны вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что окажутся вынутыми шары с одинаковыми номерами.

76. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 составляются всевозможные правильные дроби. Найти вероятность того, что наудачу составленная дробь окажется сократимой.

Указание. Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя.

77. На каждой грани игрального кубика выбито одно из очков 1, 2, 3, 4, 5, 6. Найти вероятность того, что при одновременном бросании двух кубиков сумма выпавших очков окажется равной 7.

78. В коробку шоколадных конфет "Ассорти" упакованы 30 конфет, одинаковых по внешнему виду, но с различной начинкой: ореховой, коньячной и желейной в пропорции 1: 2: 3. Найти вероятность того, что наудачу взятая конфета оказалась с желейной начинкой.

79. Сто лотерейных билетов с порядковыми номерами от 1 до 100 упакованы в пачку. Найти вероятность того, что порядковый номер лотерейного билета, наудачу взятого из пачки, не содержит цифру 3.

80. В одном из шести учебников по высшей математике имеется раздел "теория вероятностей". Отыскивая этот раздел, студент просматривает содержание случайно взятого учебника. Найти вероятность того, что нужный учебник будет найден с третьей попытки.

81  90.

81. Среди 20 поступивших в магазин керамических изделий имеется 4 дефектных. Для проверки качества товаровед наудачу отбирает два изделия. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется:

а) только одно дефектное изделие;

б) оба изделия без дефектов.

82. В коробку упаковано десять трикотажных костюмов, среди которых три костюма второго сорта, а остальные – первого. Для проверки качества товаровед наудачу отбирает два костюма. Найти вероятность того, что среди отобранных окажутся:

а) оба изделия первого сорта;

б) только одно изделие первого сорта.

83. Для сигнализации об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора, вероятности срабатывания которых при аварии равны 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что при аварии:

а) не сработает ни один из сигнализаторов;

б) сработает хотя бы один сигнализатор.

84. Претенденту на вакантную должность предложено два теста. Вероятности правильного ответа на каждый из тестов равны 0,9 и 0,7. Найти вероятность того, что правильные ответы будут даны на:

а) на оба теста;

б) хотя бы на один тест.

85. Среди 15 учебников имеется 4 учебника по математике. Найти вероятность того, что из двух случайно отобранных учебников по математике окажется:

а) только один учебник;

б) хотя бы один учебник.

86. В коробку упаковано 24 радиолампы, среди которых 4 с истекшим сроком годности. Для проверки на испытателе наудачу отбираются две лампы. Найти вероятность того, что среди отобранных окажется с истекшим сроком годности:

а) только одна лампа;

б) хотя бы одна лампа.

87. Два охотника стреляют в цель с вероятностями попадания 0,7 и 0,8 соответственно, причем каждый из охотников делает по одному выстрелу. Найти вероятность того, что попадут в цель:

а) оба охотника;

б) хотя бы один охотник.

88. Шахматист играет подряд две партии. Вероятность его выигрыша в первой партии рана 0,4, а во второй – 0,6. Найти вероятность того, что шахматист выиграет:

а) только одну партию;

б) обе партии.

89.Среди 12 банок с соком имеется 3 банки с истекшим сроком годности. Для проверки наудачу взяты две банки. Найти вероятность того, что среди них с истекшим сроком годности окажется:

а) только одна банка;

б) хотя бы одна банка.

90.В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 деталей, из которых 8 стандартных, во втором – 15 деталей, из которых 10 стандартных. Наудачу из каждого ящика взято по одной детали. Найти вероятность того, что среди взятых деталей окажется:

а) ни одной стандартной;

б) только одна стандартная.

91  100.

91. При стрельбе из винтовки стрелок попадает в цель в среднем, в 60% случаев. Найти вероятность того, что при n выстрелах окажется:

а) k попаданий;

б) не менее k попаданий,

при 1) n = 5; k = 3;

2) п=30; k = 20.

92. В среднем, пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектна. Найти вероятность того, что среди n поступивших в продажу автомобилей некомплектных окажется:

а) k автомобилей;

б) не более, чем k автомобилей,

при 1) n = 6; k = 2;

2) n = 25; k = 5.

93. При проверке качества продукции предприятия общественного питания технолог отмечает несоответствие стандарту, в среднем, в 20% проверенной продукции. Найти вероятность того, что среди проверенных n единиц продукции окажутся стандартными:

а) k единиц;

б) не менее k единиц,

при 1) n = 6; k=2;

2) n = 40; k = 30.

94. Известно, что в среднем, в 20% поступающей на базу обуви имеются отдельные дефекты. Найти вероятность того, что среди n наудачу проверенных пар обуви без дефекта окажется:

а) k пар;

б) не менее k пар,

при 1) n = 5; k = 1;

2) n = 25; k = 18.

95. В столовую поступают пакеты полуфабрикатов с фабрики, выпускающей, в среднем, 70% стандартной продукции. Найти вероятность того, что среди n проверенных пакетов не удовлетворяют стандарту:

а) k пакетов;

б) не более, чем k пакетов,

при 1) n = 6; k = 2;

2) n = 30; k = 10.

96. В партии швейных изделий, в среднем, 60% изделий высшего качества. Для проверки качества товаровед наудачу отбирает n изделий. Найти вероятность того, что среди отобранных изделий высшего сорта окажется:

а) k изделий;

б) не менее чем k₁ и не более, чем k₂ изделий,

при 1) n = 6; k =3; k₁ =2; k₂ = 4;

2) n = 40; k=20; k₁ =20; k₂ = 30.

97. Наборщик наудачу извлекает n литер из кассы, содержащей 80% шрифта отличного качества. Найти вероятность того, что среди извлеченных окажется отличного качества:

а) k литер;

б) более k литер,

при 1) n = 6; k = 4;

2) n =150; k = 100.

98. Среди выпущенных лотерейных билетов выигрышные билеты составляют 30%. Найти вероятность того, что среди n купленных лотерейных билетов выигрышных окажется:

а) k штук;

б) не менее k штук,

при 1) n = 4; k = 2;

2) n = 20; k = 5.

99. В ящике находятся катушки ниток, среди которых 40% ниток белого цвета. Найти вероятность того, что среди n наудачу извлеченных катушек ниток белого цвета окажется:

а) k катушек;

б) не менее чем k₁ и не более, чем k₂ катушек,

при 1) n = 5; k = 2; k₁ =2; k₂ = 4;

2) п = 25; k = 8; k₁ = 8; k₂ = 20.

100. Известно, что, в среднем, 10% продукции не выдерживает гарантийного срока работы. Найти вероятность того, что среди n наудачу обследованных единиц продукции проработают гарантийный срок:

а) k единиц;

б) не менее k единиц,

при 1) n = 6; k = 5;

2) n = 80; k = 70.

101  110. Случайная величина принимает значения х₁, х₂, х_3, х₄, х₅ с соответствующими вероятностями р₁, р₂, р₃, p_4, p₅.

а) Составить закон распределения случайной величины Х, предвари-тельно определив неизвестную вероятность р₁.

б) Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, указать их вероятностный смысл.

Данные приведены в таблице.

№№ заданий	х1	х2	х3	х4	х5	р2	р3	р4	р5
101	0	2	4	5	6	0,15	0,35	0,25	0,10
102	0	1	2	4	6	0,20	0,30	0,25	0,15
103	0	1	3	4	5	0,20	0,35	0,25	0,15
104	0	2	3	4	5	0,10	0,45	0,25	0,15
105	0	1	2	3	6	0,15	0,40	0,30	0,05
106	0	2	3	5	7	0,20	0,35	0,25	0,05
107	0	1	3	5	6	0,10	0,45	0,25	0,10
108	0	1	2	5	7	0,15	0,45	0,20	0,10
109	0	1	3	4	6	0,15	0,40	0,30	0,10
110	0	2	4	6	7	0,20	0,40	0,25	0,05

111  115. Средний вес кондитерских изделий некоторой партии составляет а г, среднее квадратическое отклонение σ г. Считая, что вес изделий является нормально распределенной случайной величиной,

1) записать плотность распределения вероятностей;

2) определить процент кондитерских изделий, вес которых отклонен от среднего веса не более чем на b г.

№ варианта	111	112	113	114	115
а	50	70	100	150	200
σ	2	3	4	5	7
b	3	5	6	8	10

116  120. Средний диаметр стволов деревьев на некоторой делянке равен а см, среднее квадратическое отклонение σ см. Считая, что диаметр стволов деревьев является нормально распределенной случайной величиной,

1) записать плотность распределения вероятностей;

2) определить процент стволов, диаметр которых отклонен от среднего диаметра не более, чем на b см.

№ варианта	116	117	118	119	120
а	20	25	30	32	35
σ	3	4	5	6	8
b	4	5	5	7	10

121 -125. С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской одежды проведено выборочное обследование групп детского населения одного пола и возраста и получено следующее распределение количества детей по величине обхвата груди Х см:

Количество детей

Обхват груди Х, см	Количество детей
	Задача 121	Задача 122	Задача 123	Задача 124	Задача 125
56-58 59-61 62-64 65-67 68-70 71-73 74-76 77-79	28 48 70 78 36 20	42 51 67 74 54 32	13 28 46 38 44 21	27 44 40 48 34 17	11 37 64 74 30 14
Итого:	280	320	190	210	230
γ	0,9108	0,9642	0,8904	0,9512	0,9786

1) Провести первичную обработку результатов наблюдений, а именно: построить гистограмму относительных частот; определить по выборке средний обхват груди, оценить абсолютный и относительный разброс обхвата груди обследуемой группы детей.

2) Полагая, что обхват груди детей распределен по нормальному закону, и используя полученные результаты, найти доверительный интервал, покрывающий средний обхват груди с надежностью γ.

126 – 130. С целью определения рациональной структуры размерного ассортимента детской обуви проведено выборочное обследование групп детского населения одного пола и возраста и получено следующее распределение количества детей по величине длины стопы Х мм:

Длина стопы Х, мм	Количество детей
	Задача 121	Задача 122	Задача 123	Задача 124	Задача 125
171-175 176-180 181-185 186-190 191-196 196-200 201-205 206-210	22 29 50 56 18 5	24 46 53 33 42 22	36 51 72 66 45 30	17 46 65 53 38 21	13 28 57 65 55 42
Итого:	180	220	300	240	260
γ	0,9642	0,9544	0,9108	0,9282	0,9722

1) Провести первичную обработку результатов наблюдений, а именно: построить гистограмму относительных частот; определить по выборке среднюю длину стопы, оценить абсолютный и относительный разброс длины стопы обследуемой группы детей.

2) Полагая, что длина стопы детей распределена по нормальному закону, и используя полученные результаты, найти доверительный интервал, покрывающий среднюю длину стопы с надежностью γ.

131  135. При изучении химического состава сибирских ягод было обследовано n = 10 образцов ягод и получены следующие данные о содержании сухих веществ Х (%) и органических кислот Y(%) в исследуемых образцах.

Задача 131 Жимолость		Задача 132 Калина		Задача 133 Барбарис		Задача 134 Облепиха		Задача 135 Ирга
сухое ве-щество, %	органич. кисло-ты, %	сухое ве-щество, %	органич.кисло-ты, %	сухое ве-щество, %	органич. кисло-ты, %	сухое ве-щество, %	органич. кисло-ты, %	сухое ве-щество, %	органич. кисло-ты, %
15,2 14,9 15,6 14,8 13,5 13,6 14,8 13,2 13,55 13,3	2,63 2,6 2,7 2,56 2,3 2,35 2,5 2,12 2,29 2,23	19,2 19,2 20,1 18,7 17,5 18,4 18,2 19,0 19,24 17,6	1,8 1,83 1,88 1,76 1,64 1,73 1,77 1,78 1,8 1,55	13,1 14,1 14,2 13,2 13,7 13,8 12,9 13,0 13,3 14,1	1,18 1,27 1,3 1,2 1,23 1,24 1,0 1,07 1,1 1,35	13,1 14,8 13,3 13,7 13,2 13,1 14,0 15,2 14,7 14,9	1,9 2,05 1,8 2,0 1,85 1,8 2,04 2,1 2,0 2,17	16,3 17,2 17,4 18,0 17,0 17,1 16,3 16,8 17,1 16,4	3,3 3,59 3,61 3,76 3,55 3,57 3,61 3,51 3,5 3,45

Выполнить следующую статистическую обработку данных:

1) построить диаграмму рассеяния;

2) определить выборочный коэффициент корреляции сделать вывод о направлении и тесноте связи между признаками Х и Y;

3) полагая, что между признаками Х и Y имеет место линейная корреляционная связь, найти выборочное уравнение линейной регрессии

Используя полученное уравнение регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y, когда признак Х принимает значение, равное а %;

4) построить линию регрессии.

Номер Задачи	131	132	133	134	135
а	14,5	18,5	13,5	13,5	17,5

136 – 140. При изучении химического состава плодов сибирских ягод было обследовано n = 10 образцов ягод и получены следующие данные о содержании сухих веществ Х (%) и сахаров Y (%) в исследуемых образцах.

Задача 136 Жимолость		Задача 137 Калина		Задача 138 Барбарис		Задача 139 Облепиха		Задача 140 Ирга
сухое ве-щество, %	сахара, %	сухое ве-щество, %	сахара, %	сухое ве-щество, %	сахара, %	сухое ве-щество, %	сахара, %	сухое ве-щество, %	сахара, %
15,2 14,9 15,6 14,8 13,5 13,6 14,8 13,2 13,55 13,3	2,4 2,1 2,2 2,4 1,9 1,95 2,26 1,75 1,95 1,75	19,2 20,1 18,7 17,5 18,45 18,2 19,33 19,0 19,24 17,63	3,17 3,31 3,1 2,9 3,1 3,0 3,19 3,13 3,17 2,9	13,1 14,1 14,2 13,2 13,8 12,9 13,3 14,1 13,0 13,4	1,51 1,62 1,65 1,53 1,6 1,5 1,53 1,6 1,49 1,54	13,1 14,8 13,3 13,7 13,2 13,1 14,0 15,2 14,7 14,9	2,7 3,5 2,56 2,8 2,4 2,45 2,9 3,4 3,26 3,1	16,3 17,2 17,4 18,0 17,0 17,1 16,3 16,8 17,1 16,4	4,97 5,24 5,3 5,49 5,2 5,1 4,8 5,1 5,21 5,0

Выполнить следующую статистическую обработку данных:

1) построить диаграмму рассеяния;

2) определить выборочный коэффициент корреляции сделать вывод о направлении и тесноте связи между признаками Х и Y;

3) полагая, что между признаками Х и У имеет место линейная корреляционная связь, найти выборочное уравнение линейной регрессии

Используя полученное уравнение регрессии, оценить ожидаемое среднее значение признака Y, когда признак Х принимает значение, равное а %;

4) построить линию регрессии.

Номер Задачи	136	137	138	139	140
а	14,5	18,5	13,5	13,5	17,5