Относительной частотой w(a) события а называется отношение числа т появлений события а к общему числу n испытаний, т.Е.

При больших n относительная частота обнаруживает свойство устойчивости; т.е. её величина незначительно отличается от некоторого числа. Поэтому вероятность события A полагают равной её относительной частоте, т.е. P(A) = W(A).

• Вероятность можно связать с процентами. Например, если Р(А) = 0,8, то при достаточно большом числе испытаний событие А появится примерно в 80% случаев.

С другой стороны, если автомат штампует, в среднем, 5% бракованных деталей, то среди п = 100 наудачу взятых деталей окажется примерно т = 5 бракованных. Тогда вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной, равна

Пример

1) Найти вероятность выпадения герба при бросании монеты;

2) Абонент, набирая номер телефона, забыл две последние цифры, помня только, что они одинаковы. Найти вероятность того, что наудачу набранный номер окажется правильным.

3) Пусть в неизменных условиях стрелок сделал 50 выстрелов по мишени, при этом попал в мишень 38 раз. Определить вероятность попадания стрелком в мишень при одиночном выстреле.

Решение

1) Испытание S - бросают монету один раз.

Событие А - выпадение герба.

Элементарные события - выпадение герба или решки, т.к. эти события равновозможны, причем появление одного из них исключает появление другого, следовательно, п = 2.

Событию А благоприятствует только одно из двух элементарных событий, следовательно, т = 1. Тогда

2) Испытание S  абонент набирает номер телефона.

Событие А  набранный номер оказался правильным.

Элементарные события испытания  набраны две последние цифры: 00,11, 22,33,..., 99, т.к. абонент помнил, что две последние цифры одинаковы, т. е. п = 10.

Событию А благоприятствует только один из элементарных исходов, т.е. т = 1. Тогда

3) Событие А  попадание в мишень при одиночном выстреле. Число выстрелов п = 50; число попаданий в мишень т = 38.

Тогда относительная частота

P(A) = 0,76.

Задания 81  90. Теоремы теории вероятностей Краткие теоретические сведения

• Суммой событий А и В называется событие А+В, которому благоприятствуют все элементарные события, благоприятствующие хотя бы одному из событий А, В.

Другими словами событие А + В заключается в наступлении события А или события В, или обоих вместе.

• Произведением событий А и В называется событие АВ, которому благоприятствуют элементарные события, благоприятствующие обоим событиям А и В.

Другими словами, событие АВ заключается в совместном появлении обоих событий А и В.

• Событие Ā называется противоположным событию А, если оно появляется, когда не появляется событие А, и наоборот.

Для двух противоположных событий А и Ā выполняются равенства:

A+Ā=U, AĀ=V.

• События А и В называются несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из этих событий исключает появление другого. В противном случае события А и В называются совместными.

• Р_А(В) - условная вероятность появления события В, вычисленная при условии, что событие А произошло.

• События А и В называются независимыми, если вероятность появления одного из этих событий одна и та же независимо от того, произошло другое событие или нет, т.е. Р_А(В)= Р_Ā(В). В противном случае события А и В называются зависимыми.

Для зависимых событий имеет место неравенство Р_А(В) ≠ Р_Ā(В).

• Теорема сложения вероятностей.

Если события А и В несовместны, то Р(А + В) = Р(А)+ Р(В).

Если события А и В совместны, то Р(А + В) = Р(А)+ Р(В)  Р(АВ).

• Вероятность противоположного события:

Р(Ā) = 1  Р(А).

Обычно вероятности противоположных событий обозначают р и q, т.е.

р = Р(А), q = Р(Ā). Тогда

q = 1  р.

• Теорема умножения вероятностей.

Если события А и В независимы, то Р(АВ)=Р(А)·Р(В).

Если события А и В зависимы, то Р(АВ)=Р(А)·Р_А(В) или

Р(АВ)=Р(В) ·Р_В(А).

Пример

1) В двух коробках упакована детская обувь первого и второго сорта. В первой коробке 10 пар обуви, из них 4 пары первого сорта, во второй коробке 15 пар обуви, из них 12 пар первого сорта. Для проверки качества из каждой коробки наудачу вынимают по одной паре обуви. Найти вероятность того, что среди извлеченных окажется:

а) только одна пара обуви первого сорта;

б) обе пары первого сорта;

в) хотя бы одна пара обуви первого сорта.

2) В коробке упаковано 25 пар детской обуви первого и второго сорта. Из них 16 пар первого сорта. Для проверки качества из коробки наудачу одну за другой вынимают две пары обуви. Найти вероятность того, что среди извлеченных окажется:

а) только одна пара обуви первого сорта;

б) обе пары первого сорта;

в) хотя бы одна пара обуви первого сорта.