Решение

1) Испытание S - товаровед проверяет очередное изделие на качество, испытание S повторяется пять раз.

Событие А - проверяемое изделие оказалось высшего качества. Таким образом,

п = 5 - число испытаний S;

р = P(A) = 0,8  вероятность появления события А;

q = Р(Ā)= 1 - 0,8 = 0,2 - вероятность непоявления события А.

а) Р₅(3) - вероятность того, что среди проверенных пяти изделий высшего качества оказалось ровно три.

Р₅(3) вычисляется по формуле Бернулли при k = 3:

б) Р₅(3;5) - вероятность того, что среди проверенных пяти изделий высшего качества оказалось не менее трех, т.е. число изделий высшего качества заключено между 3 и 5.

Р₅(3), Р₅(4), Р₅(5), следует вычислить с точностью 0,001, а затем окончательный результат округлить до 0,01.

Р₅ (3) = 0,205 вычислено ранее;

т.к. 0! = 1 и 0,2⁰ = 1.

Окончательно Р₅ (3; 5) = 0,205 + 0,410 + 0,328 = 0,943 ≈ 0,94 . Результат близок к единице, следовательно, с большой вероятностью среди проверенных пяти изделий высшего качества окажется не менее трех.

2) Испытание S  студент выполняет очередное задание.

n = 6  число испытаний.

а) событие А  студент правильно выполнил очередное задание;

р = Р(А) = 0,7  вероятность появления события А ;

q = 1  р = 0,3  вероятность выполнения задания с ошибками.

Р₆(4)  вероятность того, что студент правильно выполнит четыре задания, т.е. в формуле Бернулли k = 4.

б) В вопросе задачи речь идет об ошибках, допущенных студентом, следовательно, в этом случае событие А - студент допустил ошибки при выполнении одного из заданий.

р = Р(А) = 0,3  вероятность появления события А;

q = 1 p = 0,7.

Р₆(0;2)  вероятность того, что ошибки будут допущены при выполнении не более двух заданий.

Окончательно,

Р₆(0;2) = 0,118 + 0,303 + 0,324 = 0,745 ≈ 0,75.

3) п = 150  число испытаний, т.е. число саженцев, высаженных в грунт.

а) событие А - саженец прижился.

р = Р(А) = 0,7;

q = 1  0,7 = 0,3.

P₁₅₀(100)  вероятность того, что из 150 саженцев приживется ровно 100. п = 150 велико, поэтому используем локальную теорему Лапласа:

где

Значение функции φ(х) найдем из приложения 1, учитывая её чётность:

φ(х) = φ(0,89) = φ(0,89) = 0,2685.

Таким образом,

б) событие А  саженец не прижился.

р = Р(А) = 0,3

q = 1 - 0,3 = 0,7 .

Р₁₅₀(35;50) - вероятность того, что из 150 саженцев погибнет от 35 до 50 штук, т.е. k₁ =35; k₂ =50.

Используем интегральную теорему Лапласа:

P₁₅₀(35; 50) ≈ Ф(х₂)  Ф(х₁), где

Значения функции Лапласа находим из приложения 2, учитывая её нечётность:

Ф(х₁) = Ф(1,78) =  Ф(1,78) =  0,4625;

Ф(х₂) = Ф(0,89) = 0,3133.

Подставим вычисленные значения:

Р₁₅₀(35;50) = 0,3133  ( 0,4625) = 0,3133 + 0,4625 = 0,7758 ≈ 0,78.

в) событие А - саженец прижился.

р = Р(А) = 0,7;

q = 1  0,7 = 0,3.

Р₁₅₀(100;150)  вероятность того, что приживется не менее 100 саженцев из 150, т.е. k₁ = 100; k₂ = 150.

P₁₅₀(100; 150) ≈ Ф(х₂)  Ф(х₁), где

Ф(х₁) = Ф(0,89) =  Ф(0,89) =  0,3133;

Ф(х₂) = Ф(8,02) = 0,5, т.к. х₂ > 5.

Подставим вычисленные значения:

P₁₅₀(100; 150) = 0,5  ( 0,3133) ≈ 0,81.