Расчет эмпирических коэффициентов
|
Срок, лет |
|
|
|
|
|
|
|
|
до 15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
28,26 |
28,26 |
28,26 |
|
15-19 |
2 |
4 |
8 |
16 |
60,56 |
121,12 |
242,24 |
|
20-24 |
3 |
9 |
27 |
81 |
94,9 |
284,7 |
854,1 |
|
25-29 |
4 |
16 |
64 |
256 |
136,1 |
544,4 |
2177,6 |
|
30-34 |
5 |
25 |
125 |
625 |
183,7 |
918,5 |
4592,5 |
|
Старше 35 |
6 |
36 |
216 |
1296 |
242,25 |
1453,5 |
8721 |
|
Сумма |
21 |
91 |
441 |
2275 |
745,77 |
3350,48 |
16615,7 |
Система уравнений, решая которую определим эмпирические коэффициенты параболической функции, имеет вид:
Таким образом, зависимость общих потерь от срока службы сетей имеет следующий вид:
.
Рациональный срок службы трубопровода определим из уравнения:
.
Решая
данное уравнение, получаем:
.
Учитывая,
что интервал между периодами составляет
5 лет, получим величину рационального
срока службы:
лет (32,5 – середина интервала срока
службы 30-34).
Таким образом, целесообразно заменить 31,6 км водопроводных сетей.
Тема 4. Экономико-статистическое моделирование
Экономико-статистические модели представляют собой вид моделей, описывающих с помощью уравнений регрессии зависимости между влияющими факторами и результирующим фактором. Различают однофакторные и многофакторные модели. Многофакторные модели позволяют изучать влияние на объект прогнозирования нескольких факторов, однофакторные – одного. На практике наибольшее применение нашли экономико-статистические модели линейного вида:
,
где
-
результирующий фактор;
,
,
…
-
эмпирические коэффициенты;
,
…
-
влияющие факторы.
Для определения значений эмпирических коэффициентов обычно используется метод наименьших квадратов (см. тему 3). Рассмотрим процедуру разработки многофакторной экономико-статистической модели на следующем примере.
Пример. Необходимо построить экономико-статистическую модель зависимости объёма выпускаемой продукции на предприятиях, работающих в одной отрасли, от составляющих ресурсного потенциала: численности работников, оборотных и основных средств. Исходные данные приведены в таблице 4.1.
Таблица 4.1
Значения показателей
|
Наименование предприятия |
Численность работников, чел. |
Основные средства, млн. руб. |
Оборотные средства, млн.руб. |
Объём выпускаемой продукции, млн.руб |
|
ООО «Конструктор» |
34 |
20 |
10 |
60 |
|
ООО «Заря» |
50 |
40 |
15 |
120 |
|
ООО «Механик» |
45 |
30 |
10 |
80 |
|
ООО «Инженер» |
56 |
50 |
25 |
140 |
|
ООО «Инноватор» |
23 |
12 |
8 |
50 |
|
ООО «Исследователь» |
15 |
10 |
6 |
20 |
Решение:
При
построении экономико-статистической
модели будем исходить из предположения,
что зависимость между результирующим
фактором (объёмом выпускаемой продукции
-
)
и влияющими факторами (численность
работников -
,
основные средства -
,
оборотные средства -
)
имеет линейный вид:
.
Система уравнений, в результате решения которой будут определены эмпирические коэффициенты, будет следующей:
или
Промежуточные расчёты эмпирических коэффициентов сведем в таблицу 4.2.
Таблица 4.2а
Промежуточные расчёты коэффициентов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
34 |
20 |
10 |
1156 |
400 |
100 |
680 |
340 |
200 |
|
2 |
50 |
40 |
15 |
2500 |
1600 |
225 |
2000 |
750 |
600 |
|
3 |
45 |
30 |
10 |
2025 |
900 |
100 |
1350 |
450 |
300 |
|
4 |
56 |
50 |
25 |
3136 |
2500 |
625 |
2800 |
1400 |
1250 |
|
5 |
23 |
12 |
8 |
529 |
144 |
64 |
276 |
184 |
96 |
|
6 |
15 |
10 |
6 |
225 |
100 |
36 |
150 |
90 |
60 |
|
|
223 |
162 |
74 |
9571 |
5644 |
1150 |
7256 |
3214 |
2506 |
Таблица 4.2б
Промежуточные расчёты коэффициентов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
34 |
20 |
10 |
60 |
2040 |
1200 |
600 |
|
2 |
50 |
40 |
15 |
120 |
6000 |
4800 |
1800 |
|
3 |
45 |
30 |
10 |
80 |
3600 |
2400 |
800 |
|
4 |
56 |
50 |
25 |
140 |
7840 |
7000 |
3500 |
|
5 |
23 |
12 |
8 |
50 |
1150 |
600 |
400 |
|
6 |
15 |
10 |
6 |
20 |
300 |
200 |
120 |
|
|
223 |
162 |
74 |
470 |
20930 |
16200 |
7220 |
После подстановки результатов промежуточных расчётов в систему уравнений, имеем:
Можно решать данную систему уравнений так, как это было показано в предыдущем параграфе. А можно воспользоваться программным продуктом EXCEL.
Вариант 1. Запишем данную систему в матричном виде:
.
Тогда вектор-столбец эмпирических коэффициентов равен:
.
Для расчёта обратной матрицы занесем исходную матрицу в ячейки (рисунок 4.1).
Рисунок 4.1. Вызов функции расчёта обратной матрицы.
Выделим
ячейки, в которые будут помещены
коэффициенты обратной матрицы (так как
размерность матрицы в нашем случае
,
то выделяем массив
- A6:D9).
Функция «определить матрицу обратную
данной» относится к категории
«математические функции». Нажмём кнопку
и далее категорию «математические
функции» и выберем функцию «МОБР» -
расчёт обратной матрицы
Диалоговое окно функции «МОБР» приведено на рисунке 4.2. В строке «Массив» укажем массив ячеек, содержащих элементы исходной матрицы. После того как информация будет занесена, необходимо нажать на клавиатуре одновременно клавиши «Ctrl», «Shift» и «Enter». Результат расчёта обратной матрицы представлен на рисунке 4.3.
Рисунок 4.2. Диалоговое окно функции «МОБР».
Рисунок 4.3. Результат расчёта обратной матрицы.
Коэффициенты модели определим перемножив обратную матрицу на вектор-столбец значений результирующего фактора:
.
Выделим столбец ячеек (4 ячейки), в которые будут помещены значения коэффициентов. Откроем диалоговое окно функции «МУМНОЖ» в категории математических функций (рисунок 4.4). В массив 1 занесём адреса ячеек, содержащих значения коэффициентов обратной матрицы (А6:D9). В массив 2 - адреса ячеек, содержащих значения результирующего фактора.
Далее одновременно нажимаем клавиши «Ctrl», «Shift» и «Enter». На рисунке 4.5 представлен результат расчёта коэффициентов модели.
Рисунок 4.4. Диалоговое окно функции «МУМНОЖ».
Рисунок 4.5. Результат расчёта коэффициентов модели.
Таким образом, экономико-статистическая модель зависимости объёма выпускаемой продукции от влияющих факторов будет следующей:
.
Вариант 2. Занесём исходные данные в ячейки. В диалоговом окне кликнем опцию «сервис - надстройки» и установим пакет анализа (рис. 4.6). После установки «Пакета анализа» снова кликнем опцию «сервис» и выберем операцию «анализ данных». В диалоговом окне операции «анализ данных» выберем инструмент анализа «регрессия».
На рисунке 4.7 показано диалоговое окно инструмента анализа «регрессия». В строке «Входной интервал Y» укажем адреса ячеек, содержащих значения результирующего фактора - $E$3:$E$8. В строке «Входной интервал Х» укажем адреса ячеек, содержащих значения влияющих факторов - $B$3:$D$8. В строке «Выходной интервал» укажем адреса ячеек, в которые будут внесены результаты расчётов.
Рисунок 4.6. Установка Пакета анализа.
Рисунок 4.7. Диалоговое окно инструмента анализа – «регрессия».
Далее одновременно нажимаем клавиши «Ctrl», «Shift» и «Enter». На рисунке 4.8 представлен результат расчёта коэффициентов модели. Значения коэффициентов содержатся в ячейках I27-I30.
Рисунок 4.8. Результат расчёта коэффициентов модели в Пакете анализа.
Достоинством «Пакета анализа» является то, что он позволяет также получить качественную оценку полученной экономико-статистической модели.
После
построения экономико-статистической
модели определим отклонения теоретических
значений от фактических, для чего
подставим значения влияющих факторов
,
,
в экономико-статистическую модель.
Например, для ООО «Конструктор»
теоретическое значение результирующего
фактора составит:
.
Отклонение теоретического значения результирующего фактора от фактического:
Результаты расчётов сведем в таблицу 4.3.
Таблица 4.3
Результаты расчётов по экономико-статистической модели
|
Наименование предприятия |
Теоретическое
значение,
|
Фактическое
значение,
|
Отклонение,
|
|
ООО «Конструктор» |
64,09 |
60 |
-4,09 |
|
ООО «Заря» |
110,37 |
120 |
9,63 |
|
ООО «Механик» |
86,74 |
80 |
-6,74 |
|
ООО «Инженер» |
143,32 |
140 |
-3,32 |
|
ООО «Инноватор» |
40,09 |
50 |
9,9 |
|
ООО «Исследователь» |
25,38 |
20 |
-5,38 |
Анализируя данные, представленные в таблице 4.3, следует отметить, что с одной стороны отклонение теоретических значений результирующего фактора от фактических значений может носить случайный характер. С другой стороны вполне возможно, что предприятия ООО «Конструктор», ООО «Механик», ООО «Инженер», ООО «Исследователь» используют свой потенциал недостаточно эффективно.
Вывод
о недостаточной эффективности
использования ресурсного потенциала
следует из следующих рассуждений.
Теоретические значения результирующего
фактора показывают величины объёмов
выпускаемой продукции предприятиями
при одинаковой средневзвешенной
эффективности использования
производственных ресурсов. Отклонения
от
в меньшую сторону свидетельствуют об
использовании ресурсов с меньшей
степенью эффективности. И наоборот,
превышение
над
свидетельствует о том, что предприятия
используют ресурсы более эффективно.