Тема 2 Методы экспертных оценок в задачах теории нечётких множеств

Аппарат теории нечётких множеств позволяет записать экспертные прогнозы параметров в виде нечётких чисел и в дальнейшем провести с ними необходимые вычисления.

При проведении экспертного опроса с целью представления результата прогноза в виде нечёткого числа экспертам предлагается выполнить следующие действия:

1. Указать диапазон, в который значение прогнозируемого параметра попадает с уверенностью 100 %.

2. Выбрать наиболее вероятный интервал значений прогнозируемого параметра и указать степень уверенности (от 50 до 100 %) попадания значения параметра в данный интервал.

Нечёткое число в общем случае имеет трапециевидную функцию принадлежности (рис. 2.1) и в соответствии с определением задаётся набором из пяти чисел: .

Рис. 2.1. Трапециевидная функция принадлежности.

В частных случаях форма функций принадлежности может иметь вид, представленный на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Виды функции принадлежности в частных случаях.

Если имеются два нечётких числа:

и ,

с трапециевидными функциями принадлежности, то их сумма будет представлять собой нечёткое число также с трапециевидной функцией принадлежности, параметры которой можно определить по формулам:

,

где ; ;

; ; .

Если нечёткое число представлено в виде двух объединенных нечётких чисел , то сумма нечетких чисел и будет равна:

.

Пример. Предприятию необходимо определить сумму возможных затрат на материалы при изготовлении изделия М через год. Нормы затрат материалов на изготовление изделия приведены в таблице 2.1. Прогнозные цены записывались в виде нечётких чисел и определялись по результатам экспертного опроса.

Результаты экспертного опроса (прогнозные значения цен на материалы) представлены на рис. 2.3. Прогнозная цена 1 кг латуни экспертами описана дискретным нечётким числом, т.е. с вероятностью 60 % - 150 рублей; с вероятностью 40 % - 200 рублей.

Таблица 2.1

Нормы затрат материалов

Наименование материала	Единица измерения	Норма затрат
Сталь 40Х	кг	2
Латунь Л80	кг	1,5
Пруток 30 мм	м.пог	0,5
Пластмасса	кг	3

Прогнозная цена 1 погонного Прогнозная цена 1 килограмма

метра прутка стали 40Х

0,8 0,9

120 140 руб. 80 90 110 руб.

Прогнозная цена 1 килограмма Прогнозная цена 1 килограмма

пластмассы латуни

0,7 0,6

0,4

15 20 30 40 руб. 150 200 руб.

Рис. 2.3. Прогнозные значения цен на материалы.

Решение:

Обозначим нечеткие числа, описывающие прогнозные цены на материалы следующим образом: – цена стали; – латуни; – прутка; – пластмассы. Тогда:

=(90;90;10;20;0,9); =(150;150;0;0;0,6)(200;200;0;0;0,4); =(120;140;0;0;0,8); =(20;30;5;10;0,7).

Затраты на материалы с учётом их норм расхода:

=(180;180;20;40;0,9); =(225;225;0;0;0,6)(300;300;0;0;0,4);

=(60;70;0;0;0,8); =(60;90;15;30;0,7).

Прогнозная сумма материальных затрат будет представлена нечётким числом:

.

Вычислим :

;

; ;

;

.

Таким образом, .

Аналогично вычислим :

;

;

;

;

;

.

Для прогнозной суммы затрат получаем следующее выражение:

Функция принадлежности числа представлена на рис. 2.4.

0,6

0,4

490 516,19 582,61 675,08 710 руб.

Рис. 2.4. Функция принадлежности прогнозного значения

суммы затрат на материалы.