Умова ортогональності векторів

Із властивості 4 скалярного добутку випливає умова ортогональності двох векторів: якщо вектори і є ортогональними, то їх скалярний добуток дорівнює нулю.

Якщо або якщо (14)

Проекція вектора на вектор

, за формулою (12) маємо , звідки

. (15)

Приклад: Трикутник заданий координатами своїх вершин . Знайти: 1) скалярний добуток векторів ; 2) довжини сторін і ; 3) косинус кута між стороною і медіаною .

Розв’язання

1. За формулою знайдемо координати векторів

.

За формулою (10) знайдемо скалярний добуток векторів

.

2. За формулою (11) , знайдемо довжини сторін і

.

3. Знайдемо координати точки - середини сторони

Значить . Тоді вектор має координати , а його довжина .

Тоді косинус кута між стороною і медіаною визначається за формулою (13)

Знайдемо проекції вектора на координатні осі. Для цього розглянемо одиничні вектори (орти)

Як бачимо, координати вектора є його проекціями на відповідні координатні осі.

Знайдемо кути, які утворює вектор з осями координат (напрямні косинуси)

Напрямні косинуси є координатами одиничного вектора до вектора .

(16)

Приклад: Знайти напрямні косинуси вектора і його одиничний вектор .

Розв’язання

За формулами

знайдемо напрямні косинуси , тоді

За формулою знайдемо координати одиничного вектора .

Можна зробити перевірку .

Фізичний зміст скалярного добутку

У фізиці робота сталої сили при прямолінійному переміщенні матеріальної точки вздовж вектора знаходиться як скалярний добуток цих векторів

. (17)

Векторний добуток векторів

Означення. Векторним добутком векторів і називається вектор , який задовольняє наступним умовам:

1) , тобто вектор є перпендикулярним площині векторів і ;

2) модуль вектора чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , тобто ;

3) вектор направлений у той бік, з якого поворот від до на найменший кут здійснюється проти руху годинникової стрілки.

Властивості векторного добутку

1. ;

2. ;

3) ;

4) Умова колінеарності векторів.

Якщо , тоді .

Таблиця векторного множення ортів

Формула векторного добутку у координатній формі

Нехай координати векторів і , тоді

. (18)

Приклад: Знайти векторний добуток векторів і та його довжину.

Розв’язання

За формулою (18)

.

.