1.3. Найбільше й найменше значення безперервної на відрізку функції

Ця задача має дуже просте й очевидне Розв’язання. Якщо функція безперервна на[а,b], то необхідно

1. Знайти множину K_f -критичних точок функції f на (a,b) K_f={ x₁,х₂,...,х_п}, а<х₁<x₂<…<х_п< b.

2. Обчислити значення функції f у точках a, x₁,х₂,...,х_п,b.

Тоді найбільше значення функції f на [а,b] — М_f і найменше значення f на [а,b] — m_f рівні відповідно

Зауваження 1. Це правило, звичайно, поширюється тільки на такі функції, у яких множина K_f звичайно, однак на практиці ми звичайно маємо справу з такими функціями.

Зауваження 2. Якщо перед Розв’язанням задачі на найбільше й найменше значення було проведене дослідження на локальні мінімуми й максимуми, то щоб знайти найменше значення функції на [а,b] досить обчислити значення функції на кінцях відрізка й у точках локальних мінімумів і вибрати найменше із цих значень, аналогічно для знаходження найбільшого значення функції потрібно обчислити значення функції на кінцях відрізка й у точках локальних максимумів і вибрати найбільше значення.

2. Опуклість нагору й униз, точки перегину

Визначення 3. Говорять, що функція f:X→Y опукла нагору (униз) у точці х_о € X, якщо існує така околиця x(x_o, δ_o), δ_o >0, у якій графік функції f перебуває нижче (вище) дотичній до графіка функції f у точці x₀.

ПРИКЛАД .1. Видно (мал. 3), що функція в = sinx опукла нагору в точці й опукла вниз у точці .

Визначення 4. Говорять, що функція опукла нагору (униз) на (a,b), якщо вона опукла нагору (униз) у кожній точці (a,b).

Визначення 5. Нехай f:X→Y, х_о € X безперервна в точці x₀. Говорять, що точка x₀ є точкою перегину функції f, якщо існує δ_про>0 таке, що на s’_-(x_o,δ_o) функція опукла нагору (униз), а на s’₊(x_o,δ_o) функція опукла вниз (нагору).

ПРИКЛАД 2. З визначення треба, що на інтервалі (0, ) sinx-опукла нагору функція, а на інтервалі ( , 2) — опукла вниз функція. Точка є для sinx точкою перегину.

ТЕОРЕМА 3 (Достатня умова опуклості нагору (униз))

Нехай функція f визначена й двічі диференційована в деякій околиці s(x_o, δ _o) (δ> 0) точки х₀ і f"(х₀) < 0 (f"(x₀) > 0), тоді функція f опукла нагору (униз) у точці x0.

Випишемо формулу Тейлора порядку 2 із залишковим членом у формі Пеано

і будемо вважати, що δ₀ обрано так, що

Розглянемо графік функції в = f(x). Рівняння дотичної до графіка функції в точці x₀ має вигляд

Тоді група доданків

є «відхиленням» графіка в = f(x) від дотичній, а вибір δ₀ нами зроблений так, що знак «відхилення» збігається зі знаком f"(х_о), тобто якщо f"(x_o)>0, то графік функції перебуває вище дотичній (опуклість униз), а якщо f"(xo)<0, то графік перебуває нижче дотичній (опуклість нагору).

Із доведеної теореми треба правило відшукання точок перегину:

Нехай функція f визначена й безперервна на (a,b) і двічі диференційована на (a,b) за винятком, бути може, кінцевого числа точок. Точками, «підозрілими» на перегин, є точки звернення до нуля другої похідної функції й точки, у яких друга похідна функції не існує. Якщо при переході аргументу функції через таку точку друга похідна міняє знак, то точка є точкою перегину.

ПРИКЛАД 3. Знайти точки перегину функції y = sinx на(0,2 ).

Ясно, що функція sinx задовольняє умовам сформульованого правила.

Знайдемо f"(x):

Вирішимо рівняння —sinх=0 на (0,2 ). На цій множині це рівняння має єдине Розв’язання х_о= . При переході через точку f"(x)=— sinx змінює знак з мінуса на плюс, виходить, у точці функція sinx має перегин (відбувається зміна опуклості нагору на опуклість униз).

ПРИКЛАД 4. Знайти точки перегину функції в=х⁴.

в"=12х². Рівняння 12х²= 0 має єдине Розв’язання х_о = 0. При переході через точку x₀=0 в" не міняє знака, виходить, точка x₀=0 не є точкою перегину (більше того, ця точка є точкою опуклості вниз).