Решение

Определим оптимальный размер заказа по формуле Уилсона:

шт.

Так как q  Q^*, то определим размер заказа Q** из уравнения:

,

Подставим исходные данные в уравнение:

.

Выполнив элементарные преобразования, получим:

Дискриминант будет равен:

Решения уравнения:

Допустимым решением является Q** = Q₁ = 403,06 (Q₂  Q^*). Представим графически (рис. 1.4.6) решение данной задачи.

q

Q**

Q^*

СЗ1

СЗ2

Рис.1.4.6. Зависимость суммарных затрат от объема заказа для товаров, приобретаемых без скидки (СЗ1) и со скидкой (СЗ2)

Так как точка разрыва цены q, свыше которой товар приобретается со скидкой, находится во второй зоне, то оптимальный размер заказа равен 150 шт.

1.5. Многопродуктовая модель управления запасами с ограниченной вместимостью склада

В подавляющем большинстве случаев на предприятии хранится значительный ассортимент n товаров, имеющих определенные размеры и объем.

Предположим, что специалистами из отдела логистики весь ассортимент товара разделен на группы, и каждая группа управляется определенной моделью управления запасами, т.е. рассчитаны оптимальный размер заказа и время поставки. Рассчитаем площадь, которую занимает весь ассортимент товаров. Может оказаться, что она больше площади склада. В данном случае перед отделом логистики ставится задача уменьшения количества товаров, хранимых на складе, за счет корректировки оптимального размера заказа. Математическая модель данной задачи имеет вид:

, (1.5.1)

где

СЗ – суммарные затраты на хранение и доставку всех товаров, руб.;

А_i – стоимость оформления (подачи) заказа на поставку i-го товара, руб.;

S_i – потребность в i-ом товаре в единицу времени, шт;

Q_i – оптимальный размер заказа на поставку i-го товара, шт.;

W_i – стоимость хранения единицы i-го товара.

при ограничениях:

, (1.5.2)

,

i – целое положительное число.

где

а_i – площадь, занимаемая при хранении i-го товара, м²;

N – площадь склада, м².

Если весь ассортимент товаров на складе можно разделить на группы по степени важности, то сокращение оптимального размера заказа происходит за счет наименее прибыльных. В случае если рассматривается группа товаров, взаимоувязанных между собой или имеющих высокие издержки на хранение и относительно стабильный спрос, то для корректировки оптимального размера заказа можно использовать метод множителей Лагранжа.

Построим функцию Лагранжа:

, (1.5.3)

, (1.5.4)

где

 - множитель Лагранжа (≤0).

Представим (1.5.4) в более удобном для дальнейшего анализа виде:

,

или

(1.5.5)

где

L_i – слагаемое, соответствующее скорректированным суммарным затратам на поставку i-го товара, .

Оптимальные значения Q^* и ^* находятся из следующей системы уравнений (необходимые условия для экстремума функции Лагранжа):

(1.5.6)

.

Из формулы (1.5.6) найдем скорректированный оптимальный размер заказа для каждого товара:

. (1.5.7)

Алгоритм решения:

1 шаг. Для каждого товара рассматриваемой группы определить оптимальный размер заказа по формуле Уилсона (1.1.5).

2 шаг. Определить суммарную площадь, занимаемую всеми товарами, и коэффициент использования склада:

. (1.5.8)

Если K_u >1 (рассчитанная площадь больше площади склада или выходит за заданные в задаче ограничения), то следует перейти к шагу три, в противном случае расчет прекращается.

3 шаг. Рассчитывать значение скорректированного оптимального размера заказа для каждого товара по формуле 1.5.7, уменьшая значение множителя Лагранжа, до тех пор, пока не будет соблюдено ограничение 1.5.2. или достигнуто требуемое значение K_u.

Задача

Предприятие планирует выделить 135 м² для хранения трех видов товаров, обладающих стабильным спросом. Затраты на хранение, потребность, стоимость подачи заказа и занимаемая площадь для всех товаров отражены в таблице. Определить оптимальный размер заказа для трех товаров, чтобы коэффициент использования склада был больше 0,96.

Товар	А, руб.	S, т./день	W, руб./сутки	а, м2
1	200	7	2	2
2	180	4	1,7	1
3	210	7	3,1	1,5