Метод Фогеля

Рассмотрим шаги получения начального решения задачи методом Фогеля.

1 шаг. Рассчитать для каждой строки и каждого столбца штрафы (разность между двумя наименьшими значениями стоимости транспортировки единицы груза).

2 шаг. Выбрать строку или столбец с наибольшим штрафом. В случае если таких столбцов или строк несколько, то выбирается любая строка или столбец. В случае если максимальный штраф имеется и в столбце и в строке, то суммируются штрафы по строкам и столбцам. Выбирается максимальное число из суммы штрафов по строкам и столбцам. В соответствующих строках или столбцах выбирается максимальное число.

3 шаг. В соответствующей строке или столбце выбрать ячейку с наименьшей стоимостью перевозки единицы груза.

4 шаг. В выбранную ячейку вводится максимальная условная поставка, удовлетворяющая ограничению по спросу и предложению.

5 шаг. Соответствующая строка или столбец вычеркивается. Если значение спроса для ячейки (i.j) равно предложению, то вычеркивается строка или столбец на выбор.

6 шаг. В оставшейся матрице для каждой строки и столбца повторяются шаги 1–5.

7 шаг. Процесс считается завершенным, когда реализовано всё предложение и полностью удовлетворён спрос.

В качестве примера рассмотрим задачу №1. В матрице рассчитаем штрафы как разницу между двумя минимальными стоимостями поставки единицы груза для соответствующей строки или столбца (табл. 3.1.12).

Таблица 3.1.12

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Штраф	Предложение
РЦ 1	4	5	1	3	4	3 – 1 = 2	30
РЦ 2	2	6	4	7	5	4 – 2 = 2	20
РЦ 3	3	4	2	5	2	2 – 2 = 0	50
Штраф	3 – 2 = 1	5 – 4 = 1	2 – 1 = 1	5 – 3 = 2	4 – 2 = 2
Спрос	15	10	25	30	20

Максимальный штраф равен двум и соответствует как строкам, так и столбцам. Рассчитаем сумму штрафов по строкам и столбцам.

Сумма штрафов по строкам: 2 + 2 + 0 = 4

Сумма штрафов по столбцам: 1 + 1 + 1 + 2 + 2 = 7

Максимальная сумма штрафов – по столбцам. Следовательно, из четвертого и пятого столбцов выбираем ячейку с наименьшей стоимостью транспортировки единицы груза – ячейку (3,5) .

Таблица 3.1.13

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Штраф	Штраф	Предложение
РЦ 1	4	5	1	3	4	3 – 1 = 2	3 – 1 = 2	30
РЦ 2	2	6	4	7	5	4 – 2 = 2	4 – 2 = 2	20
РЦ 3	3	4	2	5	2 20	2 – 2 = 0	3 – 2 = 1	50 (30)
Штраф	3 – 2 = 1	5 – 4 = 1	2 – 1 = 1	5 – 3 = 2	4 – 2 = 2
Спрос	15	10	25	30	20 (20)

В данную ячейку введем поставку, полностью удовлетворяющую спрос и пересчитаем штрафы для строк. Пятый столбец из дальнейшего рассмотрения вычеркнем (табл. 3.1.13).

Максимальный штраф также находится и в строках, и в столбце.

Сумма штрафов по строкам: 2 + 2 + 1 = 5

Сумма штрафов по столбцам: 1 + 1 + 1 + 2 = 5

Так как сумма штрафов по строкам и столбцам одинакова, то найдем на пересечении строк и столбцов с максимальным штрафом ячейку с минимальной стоимостью транспортировки единицы тонн груза. В данную ячейку введем поставку, удовлетворяющую спрос и предложение (табл. 3.1.14). Вычеркнем из дальнейшего рассмотрения первую строку и произведем расчет штрафов для полученной матрицы.

Таблица 3.1.14

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Штраф	Штраф	Предложение
РЦ 1	4	5	1	3 30	4	3 – 1 = 2	3 – 1 = 2	30 (30)
РЦ 2	2	6	4	7	5	4 – 2 = 2	4 – 2 = 2	20
РЦ 3	3	4	2	5	2 20	2 – 2 = 0	3 – 2 = 1	50 (30)
Штраф	3 – 2 = 1	5 – 4 = 1	2 – 1 = 1	5 – 3 = 2	4 – 2 = 2
Штраф	3 – 2 = 1	6 – 4 = 2	4 – 2 = 2	7 – 5 = 2
Спрос	15	10	25	30 (30)	20 (20)

Сумма штрафов по строкам: 2 + 1 = 3

Сумма штрафов по столбцам: 1 + 2 + 2 + 2 = 7

Таблица 3.1.15

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Штраф	Штраф	Штраф	Предложение
РЦ 1	4	5	1	3 30	4	3 – 1 = 2	3 – 1 = 2		30 (30)
РЦ 2	2	6	4	7	5	4 – 2 = 2	4 – 2 = 2	6 – 2 = 4	20
РЦ 3	3	4	2 25	5	2 20	2 – 2 = 0	3 – 2 = 1	4 – 3 = 1	50 (5)
Штраф	3 – 2 = 1	5 – 4 = 1	2 – 1 = 1	5 – 3 = 2	4 – 2 = 2
Штраф	3 – 2 = 1	6 – 4 = 2	4 – 2 = 2	7 – 5 = 2
Штраф	3 – 2 = 1	6 – 4 = 2
Спрос	15	10	25 (25)	30 (30)	20 (20)

Максимальная сумма штрафов – по столбцам, следовательно, выберем в столбцах два и три ячейку с наименьшей стоимостью транспортировки единицы груза.

В данную ячейку введем поставку, полностью удовлетворяющую спрос (табл. 3.1.15), и пересчитаем штрафы для строк. Третий столбец из дальнейшего рассмотрения вычеркнем.

Максимальный штраф находится во второй строке. В ячейку (2,1) с минимальной стоимостью транспортировки единицы груза введем поставку, полностью удовлетворяющую спрос первого магазина в товаре (табл. 3.1.16).

Таблица 3.1.16

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Штраф	Штраф	Штраф	Предложение
РЦ 1	4	5	1	3 30	4	3 – 1 = 2	3 – 1 = 2		30 (30)
РЦ 2	2 15	6	4	7	5	4 – 2 = 2	4 – 2 = 2	6 – 2 = 4	20 (5)
РЦ 3	3	4	2 25	5	2 20	2 – 2 = 0	3 – 2 = 1	4 – 3 = 1	50 (5)
Штраф	3 – 2 = 1	5 – 4 = 1	2 – 1 = 1	5 – 3 = 2	4 – 2 = 2
Штраф	3 – 2 = 1	6 – 4 = 2	4 – 2 = 2	7 – 5 = 2
Штраф	3 – 2 = 1	6 – 4 = 2
Спрос	15 (15)	10	25 (25)	30 (30)	20 (20)

Для оставшейся матрицы введем поставки, удовлетворяющие спрос магазинов в товарах и реализующие предложение распределительных центов.

Таблица 3.1.17

	Магазин 1	Магазин 2	Магазин 3	Магазин 4	Магазин 5	Штраф	Штраф	Штраф	Предложение
РЦ 1	4	5	1	3 30	4	3 – 1 = 2	3 – 1 = 2		30 (30)
РЦ 2	2 15	6 5	4	7 0	5	4 – 2 = 2	4 – 2 = 2	6 – 2 = 4	20 (5)
РЦ 3	3	4 5	2 25	5	2 20	2 – 2 = 0	3 – 2 = 1	4 – 3 = 1	50 (5)
Штраф	3 – 2 = 1	5 – 4 = 1	2 – 1 = 1	5 – 3 = 2	4 – 2 = 2
Штраф	3 – 2 = 1	6 – 4 = 2	4 – 2 = 2	7 – 5 = 2
Штраф	3 – 2 = 1	6 – 4 = 2
Спрос	15	10	25 (25)	30 (30)	20 (20)

Поставки будем вводить, начиная с ячейки с наименьшей стоимостью транспортировки единицы (тонны) груза (табл. 3.1.17).

Суммарные затраты на транспортировку 100 тонн груза от распределительных центров к магазинам:

Z = 30*3 + 15*2 + 5*6 + 5*4 + 25*2 + 20*2 = 260 у.е.

Первоначальное решение задачи методами северо-западного угла, наименьшей стоимости и Фогеля показало, что наиболее близкое к оптимальному решение дает метод Фогеля.

Для нахождения оптимального плана перевозок товаров применяют распределительный метод, метод потенциалов.